因式分解(竞赛题)含答案

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1、因式分解一、导入：有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了。”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头!   启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。 二、知识点回顾：1．运用公式法　　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分

2、解中常用的公式，例如：　　(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；　　(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；　　(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；　　(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．　　下面再补充几个常用的公式：　　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；　　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；　　(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)

3、其中n为正整数；　　(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．三、专题讲解　　例1分解因式：　　(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；　　解(1)原式=-2xn-1yn(x

4、4n-2x2ny2+y4)　　　　　　　=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]　　　　　　　=-2xn-1yn(x2n-y2)2　　　　　　　=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)　　　　　=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．　　例2分解因式：a3+b3+c3-3abc．10　　本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．　　分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+

5、3a2b+3ab2+b3　　的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．　　这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．　　解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc　　　　　=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)　　　　　=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)　　　　　=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．　　说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变

6、形为　　a3+b3+c3-3abc　　　　　　　显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．　　如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有　　等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．※※变式练习　1分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．　　分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式

7、an-bn来分解．　　解因为　　x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，　　所以　　说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．　　2．拆项、添项法10　　因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆

8、项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．　　例3分解因式：x3-9x+8．　　分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．　　解法1将常数项8拆成-1+9．　　原式=x3-9x-1+9　　　　=(x3-1)-9x+9　　　　=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)　　　　=(x-1)(x2+x-8)．　　解法2将一次项-9x拆成-x-8x．　　原式=x3-x-8x+8