因式分解(竞赛题)含答案.docx

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1、文档收集于互联网，已重新整理排版word版本可编辑，有帮助欢迎下载支持.因式分解序号公式记忆特征Ix2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)(十字相乘法)(1)常数项两数积(2)一次项系数两数和(3)二次项系数为12a2-b2=(a-b)(a+b)(平方差公式)3a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2(完全平方公式)4a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2(完全平方公式扩展)(1)三数平方和(2)两两积的2倍5a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3a3-3a2b

2、-3ab2+b3=(a-b)3(完全立方公式)对照完全平方公式相互加强记忆6a3+b3=(a+bJta^ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(1)近似完全平方公式(2)缺项之完全立方公式(a+b)[(a+b)2-3abl=(a+b)3-3ab(a+b)(a-b)Ka+b)2+3ab]=(a-b)3+3ab(a+b)7a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)对照公式4相互加强记忆8an-bn=(a-b)(an'I+an-2b+an3b2+...+abiv2+bn

3、l)整数(平方差公式扩展)(1)短差长和：(2)a指数逐项递减2：⑶b指数逐项递增1：(4)长式每项指数和恒等于n-lo9an-bn=(a+b)(anl-an2b+an3b2-...+abn2-bnI)n=偶数(立方差公式扩展)(1)短式变加长式加减相间：⑵a指数逐项递减1：⑶b指数逐项递增1：(4)每项符号b指数决定偶加奇减。10an+bn=(时b)(an,-an2b+an3b2-...+abI>2-bIb,)n=奇数(立方和公式扩展)对比公式9的异同运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、

4、符号等正确恰当地选择公式.例1分解因式：(1)-2x5nd^+4x^-1yn+2_2xn)yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz;解⑴原J^=-2x:l'1yr'(x；n-2x:ny:+y')二2xnV[(x'n)::-2x'ny::+(y')::]=-2xn_1yn(x=n-y2)2=-2xB-y(xn-y)2(xB+y)2.⑵原式二x'+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档收集于互联网，已重新整理排版word版本可编辑，有帮助欢迎下载支持.=

5、(x-2y-z)(x"+4y2+z3+2xy+xz-2yz).例2分解因式:a3+b3+c3-3abc.本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给岀的公式(6).分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a:b+3ab:+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).这个©式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导.解原式=(a+b)s-3ab(a+b)+c3-3abc二[(a+b)3+c3]-3ab(a+b+c)二(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(

6、a+b+c)(a2+b3+c2-ab-bc-ca).说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a0+b3+c"-3abc显然,当a+b+c=0时，则a3+b3+c8=3abc；当a+b+c>0时，则a3+b3+c3-3abc0,即a3+b3+c3$3abc,而且，当且仅当沪b二c时，等号成立.如果令x=a3^0,y=b空0,z二c'MO,则有等号成立的充要条件是x二y二z.这也是一个常用的结论.※※变式练习1分解因式：x"+x"'+x”+…+x'+x+l.分析这个多项

7、式的特点是：有16项，从最高次项X1'开始，X的次数顺次递减至0,由此想到应用公式来分解.解因为x1€-l=(x-l)(x%?"+x“+…x'+x+l),所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(X-1),再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用.2.拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将儿个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项1文档来源为:从网

8、络收集整理.word版本可编辑.文档收集于互联网，已重新整理排版word版本可编辑，有帮助欢迎下载支持.式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的LI的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.例3分解因式：x3-9x+8.分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的儿种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧.解法1将