因式分解(竞赛题)含答案.doc

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1、.因式分解序号公式记忆特征1x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)（十字相乘法）(1)常数项两数积(2)一次项系数两数和(3)二次项系数为12a2-b2=(a-b)(a+b)（平差公式）3a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2（完全平公式）4a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2（完全平公式扩展）(1)三数平和(2)两两积的2倍5a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3a3-3a2b-3ab2+b3=(a-b)3（完全立公式）对照完全平公

2、式相互加强记忆6a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(1)近似完全平公式(2)缺项之完全立公式(a+b)[(a+b)2-3ab]=(a+b)3-3ab(a+b)(a-b)[(a+b)2+3ab]=(a-b)3+3ab(a+b)7a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)对照公式4相互加强记忆8an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)n=整数（平差公式扩展）(1)短差

3、长和；(2)a指数逐项递减1；(3)b指数逐项递增1；(4)长式每项指数和恒等于n-1。9an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)n=偶数（立差公式扩展）(1)短式变加长式加减相间；(2)a指数逐项递减1；(3)b指数逐项递增1；(4)每项符号b指数决定偶加奇减。10an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)n=奇数（立和公式扩展）对比公式9的异同　　　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、

4、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．　例1分解因式：　　(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；　　解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)　　　　　　　=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]　　　　　　　=-2xn-1yn(x2n-y2)2Word文档.　　　　　　　=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)　　　　

5、　=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．　例2分解因式：a3+b3+c3-3abc．　　本题实际上就是用因式分解的法证明前面给出的公式(6)．　　分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3　　的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．　　这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．　　解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc　　　　　=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)　　　　　=(a+b+c

6、)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)　　　　　=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．　　说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为　　a3+b3+c3-3abc　　　　　　　显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．　　如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有

7、　　等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．※※变式练习　1分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．　　分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解．　　解因为　　x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，　　所以Word文档.　　说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．　　2．拆项、添项法　　因式分解是多项式乘法的逆运算．

8、在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．　　例3分解因式：x3-9x+8．　　分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．　　解法1将常数项8拆成-1+9．　　原式=x3-9x-1