数值分析（李庆扬）CH.4.doc

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1、第四章方程求根问题，解方程给出函数，求使1，平分区间法：（实方程，实根）取取内有一根，继续如上步骤，得一区间套内有一根足够小，作为近似值，方法收敛，收敛速度为2，简单迭代法（不动点理论）设连续考虑同解的有解迭取附近的迭代（1）（1）称为迭代格式如果有极限由连续性，（迭代格式总是有的关键在于收敛性）。设在上可微，若，迭代收敛；，不收敛因为：而当时，上面的量定理1：设，则对任意初值，迭代格式(1)均收敛于唯一的不动点，且有证明：反复递推得：对所以为基本列，收敛于唯一极限。令得极限为.（*）称为以几何速度收敛，或线性收敛例：附近，.

2、收敛不收敛。求实方程实根的弦截法，单调上升，在内有一根以直线与轴的交点代曲线与轴的交点的方程一般有递推公式：估计误差：以根代入由递推公式可得：相减得：由中值定理充分小，使系数，线性收敛（局部收敛性）变端点的弦截法用作弦截法，推，得变端点弦截法的迭代公式：类似可推导得：当充分小时收敛，超线性收敛。则例：定端点的弦截法与变端点的弦截法的比较定端点变端点定端点变端点Newton法设f(x)充分光滑，将f(x)展开成Taylor级数：充分小，略去高阶项一般地（1）可以这样来理解Newton法：解方程，把方程写为：令，当很小时，我们认为

3、用解（线性方程）代替解，越小，代替越精确，比更接近，更接近，….得到迭代格式（1）Newton法的几何解释收敛性问题以代入第1式，并以由迭代公式知相减得从而得Newton法的误差公式：设充分小时，存在很小的正数使得：(平方收敛)关于收敛阶，我们还有如下的定义1：设迭代过程收敛于方程的根，如果迭代误差当时成立下列渐近关系：（常数）则称迭代过程是p阶收敛的，特别地，当p=1时称为线性收敛，p>1时称为超线性收敛，p=2时称为平方收敛。定理2对于迭代过程，如果迭代过程在附近连续，并且：，则该迭代过程在点附近是p阶收敛的。如果迭代过程

4、超线性收敛，则，同时，所以我们有：对比定理1中线性收敛的情况，其中的L是由方程确定的，而在超线性收敛时，误差减小的比例因子是可以通过取尽可能好的初值使得它很小。应用定理2可以证明：定理3(Newton法的局部收敛性)设，则当初值充分接近时，Newton法收敛，并且收敛是二阶的。解非线性方程组的Newton法设其解为，在其附近一点把展成Taylor展式：忽略余项得：这是一组线性方程，它的解作为近似解，系数矩阵式Jacobi阵写成向量形式：，则上述线性方程组化为：的分量因而Newton法的重要性在于对加上某些适当条件后，可得到平方

5、收敛的估计要算逆阵，工作量大，但仍是一个行之有效的方法。