数值分析（李庆扬）CH.2（2）.doc

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1、改进的平方根法（不需开方运算）计算于是计算量是Gauss消去法的一半。追赶法则称A严格主对角占优问题：解严格主对角占优的三对角方程组矩阵式为：命题：严格主对角占优的矩阵非奇异。证：反设奇异，则有非零解设，方程组的第k行成为：用三角不等式得，与假设严格主对角占优矛盾。易知，A有LU分解主对角线下仅有一元素可不为0，上三角部分不变，因此：比较系数（“追”的过程）显然，否则奇异。（“赶”的过程）求解过程中只需4个长度为的数组。开始分别存放在“追”中，在“赶”中，若严格主对角占优，仍有.此时，的最后一行为：，

2、的最后一列为：暂不考虑最后一个方程把第一个和第个方程中出现的未知元当做参数，把相应的相和移到右端，得到关于的主对角方程组。利用消去法化成：“追”“赶”由此，上式带入“赶”公式，并比较两端含和不含的项，得到：最后，把带入第个方程算出，代入上面相关式子即得其他向量与矩阵的范数中的几种范数（有实际背景）范（最大范数）1-范数2-范数（欧氏范数）向量的范数满足性质：1），等号成立当且仅当，－正性2），－正齐性3）.－三角不等式设是中的向量序列。（为任意一种范数）中三种范数等价矩阵的范数在中引入范数则到自身的线

3、性变换（一个算子）称为与向量范数相容的矩阵范数。可具体求出：（行范数）（列范数）（表示A的最大特征值）（称为矩阵A的F范数，有性质）矩阵的范数满足性质：1），等号成立当且仅当，－正性2），－正齐性3）.－三角不等式4）5）矩阵序列（任意范数）定理1：若误差分析问题：（1），计算解与真解的近似程度（2），是有误差的输入值，与的近似程度。两个例子：1.而右端项稍有扰动2.分别为精确解和计算（近似）解。检验，r称为残差。如何解决至关重要的问题（1）？直接法；---------------间接法：从问题2出发

4、进行讨论，实际中输入有误差，问题2得到的的误差界估计。的影响：相对小，也相对较小，则方程组良态。相对小，相对很大，则方程组病态。表示解对右端项的敏感度。代入矩阵的条件数（正交阵=1，越小越好）当系数矩阵有误差时，对解的影响当很小时，非奇异，最终我们有可见之重要。残差r什么作用呢？再次可见之重要。如何发现病态？1.小主元2.相对小的，e.g.例1中，例2中3.分类。e.g.正交阵好，循环阵（例2）坏。尽管直接法理论上可以得到精确解，但只用有限位小数进行计算，必须进行舍入误差分析，看其是否影响最后结果，直

5、接计算每一步舍入误差对最终结果的影响非常困难。一般用向后分析方法，某一特定算法得到的近似解看成某一受扰方程组的精确解，已知，只须估计即可得到的估计。如果对很小，则称算法稳定，对于选主元的Gauss消去法：——机器浮点尾数的位数（二进制）。——增长因子列主元，全面主元。全面主元稳定，列主元达上限情况很少，基本稳定，误差与有关。病态方程组用任何方法都不好，有时可用一些方法巧处理3。但不一定都行，如前面的例1，例2，只有用多位有效数字计算。