数值分析（李庆扬）CH.2（1）.doc

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1、第二章解线性方程组的直接法解线性方程组或写成矩阵式其中Gauss消去法（矩阵行变换法）第k次消元公式计算中，中间结果不必保留，进行一次变换后原来存放的单元存放，的单元存放。因此，我们得到Gauss消去法的算法：循环：n-1何时可行？即第k步Gauss消去法可实行，易见充要条件是若A的各阶顺序主子式，则有：消元过程可进行到。因此，可以用Gauss消去法解线性方程组的充要条件是系数矩阵的各阶顺序主子式不为0。最后得到是上三角阵与同解解只需递推（回代过程）计算量第k步消元计算用(n-k)次除法，算诸用乘

2、法和次加减法，对相加，可得消元过程共需右端÷－矩阵的三角分解（用矩阵乘法分解的观点看Gauss消去法）对A作行变换相当于左乘初等矩阵，例如其中类似的讨论易知：令单位下三角阵定理：，则A可表示为A=LUL：单位下三角阵，U上三角阵，且分解唯一。证明：存在性上已证，下证唯一性，首先设A非奇异，若A有两种分解法：，则上式左边为单位下三角阵，右边为上三角阵，从而只能是单位阵，可得：.分解唯一。若A奇异，A的秩为n-1，将A写成分块矩阵如果A=LU分解好了，则解Ax=b相当于解Ly=b，，递推即可（回代过程

3、）L、U放在一个矩阵单元中，单元放Gauss主元素消去法Gauss消去法的缺点遇到无法进行，很小，可能溢出，误差大解决办法：进行行列交换，避免，也不使其太小1.完全主元消去法思想：在做第k步消元时，交换行列，取中绝对值最大者为优点：计算精度高，稳定性好缺点：比较工作量大，条件转多，通用性小2.列主元消去法在做第k步消元时，交换行，取中，值最大值为1.循环：k=1,2,……,n-11)按k列选主元，如果转3）2)主元行行与k行交换，j=k,……,n3)消元过程对固定的k同Gauss消去法2.回代（同

4、Gauss消去法）列主元是最常用的方法Gauss-Jordan消去法（无回代过程的Gauss消去法）思想：第k次消元将第k列元素除主对角线上的其他元（对角线上、下）均化成0算法：1.循环k=1,……,n2.3.输出无需回代，但消元过程计算量增加总的计算量（乘除法）达，仅用于求逆矩阵线性代数中的行初等变换法求逆矩阵，A为n阶可逆距阵可选到主元，也可不选（顺序主子式），但不能用全面主元下面用矩阵运算来描述列主元消去法用表示单位阵交换i行j行所得到显然所以以n=4为例（Gauss列主元消去法）由于例如相

5、当于把中与单位阵相同的两列交换，再交换两行，仍为一单位下三角阵仅第二列与单位阵不同现在令，与L均为单位下三角阵置换方阵，I通过一系列交换行得到，每列恰有一个1.（n-1）个零定理：若存在置换阵P，使P不唯一，分解也不唯一（可能选，部分选，不选主元P=I）Gauss主元消去法，平方根法有限元法解结构问题时，常要解Ax=b，其中A对称正定（常见的情况）由唯一性下三角矩阵定理（Cholesky分解）设A为对称正定，则存在下三角阵使，若限定L的对角元>0,则L是唯一的。给定A，如何求L？设由于对于交换i，

6、j上述分解作好后，令求解过程分为Ly=b，1.2.由于分解后，的数量级与原矩阵相比不增长，，不须选主元