数值分析（李庆扬）CH.9.doc

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1、第九章矩阵特征值与特征向量计算矩阵特征值问题有物理、工程背景特征值，对应的特征向量特征多项式特征值特征向量的基础解系。定理1.如果为A的特征值的集合，则：若x是B对应于的特征向量，则Tx是A对应于同一特征值的特征向量。定理2(Gerschgorin圆盘定理)设，则得每一个特征值必属于下述某个圆盘之中：证：设特征值，对应的特征向量第个方程得证，且对应的特征向量第个分量绝对值最大，在第个圆盘中。内积--对称，的Reyleigh商：定理3：设对称，特征值，对应特征向量组成标准正交组则：幂法与反幂法设有完全特征向量组（n个线形无关的特征向量）幂法任取初值，

2、以后我们用符号表示向量的第i个分量。一般为避免溢出表示向量绝对值最大的分量此时，当时也可用方法的证明：设的特征向量为（线性无关），加速.原点平移法适当选，使求得主特征值Rayleigh加速设对称则反幂法，有完全特征向量系的特征值为，且通过求的主特征值来间接求迭代公式：相似变换法方法的思想是找适当的P通过相对好算来计算A的特征值，如果对不加限制，则从求，很可能是病态方程，所以只能用酉相似变换法，即限制为酉阵（注意特征值一般是复的）。酉阵酉相似变换的优点求逆容易酉变换能把任意矩阵变换成怎样的矩阵？定理（Schur分解定理）　设，则存在n阶酋阵，使，为上

3、三角形矩阵。证明：设的一个特征值为，对应的特征向量为，找使得为酉阵。为酉阵，…..如此进行下去，即得：－酉阵定理：（实的Schur分解定理）,存在正交阵，使为一阶或二阶矩阵。实际上，一阶对应实特征值，二阶矩阵对应一对共轭复特征值关键在于求，Chur定理的证明中，有了特征值，特征向量才有，不能直接用于求特征值。求一般矩阵全部特征值的QR算法我们把算法分为4步讲解初等反射阵.问题：给定中的向量x，y，如何找正交阵使得？正交变由于换保内积，给定的x，y必须满足条件给定单位向量，构造矩阵，这样定义的H称为初等反射阵，易验证初等反射阵具有性质，是正交阵，对称

4、阵，对合阵。有使，事实上只须令即可。②QR分解定理：A可表示为A=QR其中Q为正交阵而R为上三角阵，且分解唯一。证明：把A写成列向量形式，不妨设（否则跳过这一步）根据的结果可知存在初等反射阵，使得，同理存在n-1阶初等反射阵，使得，令，…...如此继续下去，存在一系列初等反射阵，使得，令即得。QR分解一般不唯一，至少主对角线上的元可。若A非奇异，且限制的对角元为正，则唯一。证：设，由于A非奇异，，两边均为上三角正交阵，对角阵，的对角元为正注意A的QR分解中的不相似于A，求A的特征值还须更复杂的方法。QR方法设（分解好）令以代入得对B仍可作QR分解，

5、再算RQ……基本算法：（的分解）易知：定理1：定理：设，其特征值满足，，A有标准形，，有分解，＝，则即注意Q的列向量不收敛于特征向量集合引理，当时若，则证：，第一行为同理逐行计算得定理的证明元素：由于另一方面：可设当K充分大时，非奇异由引理的另一形式，QR分解上式改写成与上式同一QR分解。代入定理1之（2）得：为上所以有（对角线保持次序）为对角阵，若A对称，满足定理条件，则收敛于对角阵，若不满足，可能不收敛于对角阵。A本身为正交阵一般情形的QR算法收敛性较为复杂，特殊的，若A的等模特征值只有实特征值或多重共轭复特征值，则QR算法产生的本质上收敛于分

6、块上三角阵。为A的实特征值，块的特征值为A的复共轭特征值，注意的元素不一定收敛，但特征值收敛。一次迭代计算次数（即一次QR分解）计算量不可接受。改进的方法：正交相似变换成上H阵，再对上H阵用QR算法。④Houshold方法定义：方阵，如果当，则称为上Hessenberg阵，即：问题：如何用正交相似变换化一般为上Hessenberg阵现考虑用一系列初等反射阵，将化为上—H阵(如同大多数矩阵分解我们还是用减缩的方法)把矩阵写成列向量的形式：找初等反射阵使，为使右乘后，的第一列不变，必须的第一列为下，，由知：，，可能，为避免相近数相减，取。从而令，，第步

7、变换，仅是第一步的重复，只不过把变换应用与阶方阵上。算法：假定对进行了步变换，得到要求阶正交阵(不须做矩阵乘法，做一系列内积)算法：对做在(4)—(7)中，新的冲掉老的(6),(7)可合并，一个的矩阵右乘阶方阵。若为对称，（上阵）显然为对称。为三对角矩阵。一次变换的计算量。但对上H阵作一次QR分解计算量仅为――预处理的方法。