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1、方差分析简介1.引言方差分析（analysisofvariance,简称ANOVA）是一种假设检验方法，即基木思想可概述为：把全部数据的总方弟分解成几部分，每一部分表示某一影响因素或备影响因素Z间的交互作用所产生的效应，将备部分方差与随机误差的方差相比较，依据F分布作出统计推断,从而确定备因素或交互作用的效应是否显著。因为分析是通过计算方差的佔计值进行的，所以称为方差分析。方差分析的主要目标是检验均值间的差别是否在统计意义上显著。如果只比较两个均值，事实上方差分析的结果和t检验完全相同。只所以很多情况下采用方差分析，是因为它具有如下两个优点：（1）方弟分析可
2、以在一次分析屮同时考察多个因素的显著性，比t检验所需的观测值少；（2）方差分析可以考察多个因素的交互作用。方差分析的缺点是条件有些苛刻，需要满足如下条件：（1）备样本是相互独立的；（2）各样木数据来自正态总体（正态性：normality）；（3）各处理组总体方弟相等（方差齐性：homogeneityofvariance）o因此在作方羌分析Z前，要作正态性检验和方并齐性检验，如不满足上述要求，可考虑作变量变换。常用的变量变换方法有平方根变换，平方根反正弦变换、对数变换及倒数变换等。方差分析在医药、制造业、农业等领域有重要应用，多用于试验优化和效果分析屮。2.单
3、因素方差分析基本概念（1）试验指标：在一项试验屮，用来衡量试验效果的特征量称为试验指标，有时简称指标，也称试验结果，通常用y表示。它类似于数学屮的因变量或目标函数。试验指标用数量表示称为定量指标，如速度、温度、压力、重量、尺寸、寿命、硬度、强度、产量和成木等。不能直接用数量表示的指标称为定性指标。如颜色，人的性别等。定性指标也可以转化为定量指标，方法是用不同的数表示不同的指标值。（2）试验因素：试验屮，凡对试验指标可能产生影响的原因祁称为因素（factor）,也称因子或元，类似于数学屮的白变量。需要在试验屮考察研究的因素，称为试验因素，有时也称为因素，通常用
4、大写字母A、B、C、……表示。在试验屮，有些因素能严格控制，称为可控因素；有些因素难以控制，称为不可控因素。试验因素是试验屮的己知条件，能严格控制，所以是可控因素。通常把未被选作试验因素的可控因素和不可控因素都称为条件因素，统称为试验条件。（3）因素水平:因素在试验中所处的各种状态或所取的不同值，称为该因素的水平（level）,也简称为水平或位级，通常用下标1、2、3、……表示。若一个因素取K种状态或K个值，就称该因素为K水平因素。因素的水平，有的可以取得具体值，如6Kg、10cm；有的只能取大致范围或某个模糊概念，如软、硬、大、小、好、较好等；但也有无法用
5、数值表征的，如履带的不同形式，轮胎花纹的不同种类，机器的不同操作方式，大豆的不同品种等。(4)处理组：所有试验因素的水平组合所形成的试验点称为处理纽.(treatmentgroup),也称组合处理。三因素试验屮，AjBoCs是一个组合处理，它表示由A因素1水平、B因素2水平和C因素3水平组合而形成的一个试验点。2.2主要步骤假设我们在实验屮只考虑因素A,该因素有P个水平，毎个水平做！•次重复试验，设第i个水平的第j次重复试验的数据为儿，如表1所示。表1试验数据12■<■JA2%...4...Ap比=广£(儿-刃21=1Prs广££（儿-儿）A'H力1…Zi…
6、儿I)12>22…开2…儿2••••••••••••••••••儿％...儿...儿”••••••••••••••••••yryir•…yir•…)pr根据这些数据，可以计算全体数据的均值歹和和各水平对应数据的均值X.:
7、Pr]r歹=一工工儿’儿=二工儿’日，2,…,prP/=!J=1'j=进一步，可以计算全体数据的偏差平方和»、因素A对应的偏羌平方和以及误差的偏差平方和S°：1=1J=1下一步，需要计算这三个偏差平方和所对应的白由度。Z所以要计算白由度，是因为如果用偏差平方和除以对应的数据项数，得到的统计量并不是方差的无偏估计。而偏差平方和与对应的白由
8、度的商才是方差的无偏估计。”设有n个数据xbx2,...,xn,它们的平方和的自由度取决于｛冶｝2间有多少个线性约束关系。设X=(xbx2,...,xn)T,若存在秩为闱的矩阵A,满足AX=0则S的自由度是n-m0下面来求St的自由度。令丑=)分_歹，i=l,2,…,p,j=l,2,...,r,k=(f-l)r+j,则｛x」Z间存在一个线性约束PFPF一刃=EE>;-r^=0/=1i=lJ=li=lj=l即m=l,A=(l,1,1),故fT=rp-o同理可得fA=p-ffe=rp-po可以证明(证明木文从略)，对于偏差平方和与其对应的自由度，如下关系成立
9、：St=S_4+Sg，fT=fA~^~fe这就是Fi
