《隐函数的导数》PPT课件.ppt

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1、第二章导数与微分第五节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率四、数学建模的实例一、隐函数的导数函数y=f(x)表示变量y与x之间的对应关系，这种对应关系的表示形式是多种多样的。例如：从下图中可以看到，对每一个x通过这条曲线都能有唯一的y与之对应，因此我们说这条曲线(或者方程x2+y3+siny=2)确定了一个函数y=f(x)，称其为由该方程确定的隐函数.则称方程在区间一、隐函数的导数如果在一定条件下，对于某区间I上的任意一个值x，一般地通过方程相应地总有满足这个方程的唯一的实数y则称方程在区间I上确定了一

2、个隐函数.存在，相应的，诸如等由自变量x的解析式表示的函数称作显函数．隐函数能化为显函数吗？由方程不能解出y来，因此该隐函数不能显化.隐函数显化把一个隐函数化为显函数，就称隐函数显化.例如：并不是任意一个隐函数都能显化的.我们关心的是，若方程在某区间内确定了一个可导的隐函数，能否不对它进行显化而直接由方程求出它的导数呢？例1求方程确定的隐函数在点的导数．解用替换中的y，得方程两边同时对求导数，得解方程即可求得解这个关于的方程，得即注意到y是x的函数这一事实，我们可以不必像上边那样去作代换，而直接将方程两边同时对x求导数，有由方程可知，当时，，因此这一步需要特别注意

3、什么问题？你注意到隐函数导数的表示式的特点了吗？求隐函数在某一点处的导数时应特别注意什么？总结一下求隐函数的一阶导数可分哪几步？例2求方程所确定的隐函数的导数．整理得解方程两边同时对求导数，利用复合函数的求导法则（注意，这里是的函数），得于是有1.方程左右两边对x求导(注意y是x的函数,因此对y的函数求导时要用复合函数求导法则).2.解方程，求出y’(注意y’表达式中即含有x，也含有y).例3求椭圆上点处的切线方程．解由导数的几何意义知道，所求切线的斜率为该方程所确定的隐函数在点处的导数.解得原方程两边分别对x求导，得因此，所求切线斜率从而，所求的切线方程为讨论：

4、要求切线方程，关键要找到什么？下面又应怎么办？解由隐函数的求导法，得于是例4求由方程所确定的隐函数的二阶导数.上式两边再对求导，得将上边求得的结果代入，得下面应怎么办？？？您看求隐函数的二阶导数的步骤可分几步？其中需要特别注意什么？1.方程左右两边对x求导(注意y是x的函数).2.解方程，求出y’的表达式.3.y’的表达式(或求导后方程)左右再对x求导(注意y和y’都是x的函数).4.将y’代入到上面求出的y’’中(注意y’’表达式中即含有x，也含有y).于是解将方程的两边取对数，得例5求的导数.上式两边对求导，注意到是的函数，得隐函数！讨论:这是一个幂指函数,既

5、不能按照幂函数求导,也不能按照指数函数求导.你想怎么解决这个矛盾？对数求导法若方程左右两边同时取对数,能解决问题吗？由这个方程能说y是x的函数吗？于是例6求的导数.解将方程的两边取对数（假定），得上式两边对求导，注意到是的函数，得于是讨论:这个题目复杂吗？原因是什么？如果能“积化和差”好求导吗？怎么能“积化和差”?当时当时用同样的方法可得与上面相同的结果.总结一下，什么时候适合使用“对数求导法”？1.幂指函数求导数；2.函数为多个因子的乘积。求一般幂指函数的导数时，同样可以用上述“对数求导法”．但注意到，也可以利用复合函数求导法则求导．如二、由参数方程所确定的函数

6、的导数实例：抛射体的运动轨迹其中g为重力加速度，t为时间.某时刻t时，炮弹在铅垂平面内所在位置的横坐标x与纵坐标y，它们都与t存在函数关系.如果把对应于同一个t的x,y的值看作对应的，这样就得到x与y之间的函数关系．利用代入消元法，消去参数t得到则称此函数关系所表达的函数为由上述参数方程所确定的函数．下面我们来研究求参数方程所确定的函数的导数:一般地，若参数方程确定了y与x之间的函数关系，如果在上述参数方程中函数具有单调连续的反函数，并且与函数可以构成复合函数，其中t为中间变量．于是由一阶微分形式的不变性，有再由，利用反函数求导法则得代入得与可以构成复合函数，定理

7、1(参数方程求导法则)设参数方程若在区间内可导，并且中，具有单调连续的反函数，并且则有（参数方程求导计算公式）例7求由参数方程解所确定的函数的微商.例8已知椭圆的参数方程为求它在相应的点处的切线方程．解椭圆上对应于的点的坐标分别为：曲线在点的切线斜率为：由直线的点斜式方程，可得所求的切线方程为即讨论:求一点处的切线需要知道什么？由我们能知道什么？解显然所求夹角的正切为，因此例9根据前面所给的抛射体的运动轨迹方程试求抛射体在时刻t时的运动方向与水平线间的夹角.若皆二阶可导，有设函数的参数方程为，利用参数方程求二阶导数参数方程的一阶导数为对一阶导数关于x求导,其变量t

8、应看作中间