平方根与立方根及实数(综合提高).doc

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1、平方根与立方根知识点小结及练习一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“”（a称为被开方数）。⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。2、立方根：⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“”（a称为被开方数）。⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0

2、；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。3、本身为非负数，即≥0；有意义的条件是a≥0。4、公式：⑴()2=a（a≥0）；⑵=（a取任何数）。5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。例1求下列各数的平方根和算术平方根（1）；（2）；（3）；⑷；（5）100；（6）（7）0.25例2求下列各式的值（1）；（2）；（3）；（4）.（

3、5），（6），（7）（8）例3、求下列各数的立方根：⑴343；⑵；⑶0.729；（4）343；（5）；（6）-0.0064；（7）-729二、巧用被开方数的非负性求值.当a≥0时，a的平方根是±，即a是非负数.例4、若求yx的立方根.练习：1、已知求的值.2、已知，求xyz的值。3、已知互为相反数，求a，b的值。三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.当a≥0时，a的平方根是±，而例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a，求a的平方的相反数的立方根.练习：若和是数的平方根，求的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=

4、36（2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.例4、已知：y=,当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时,求ba的非算术平方根.六、实数1、实数：有理数和无理数统称为实数．我们一般用下列两种情况将实数进行分类：①按属性分类：②按符号分类　2．关于有理数的运算法则：运算规律和运算性质，在进行实数运算时仍适用．在实数范围内，不仅可以进行加．减．乘．除．乘方运算，而且正数和零总可以进行开平方运算，任何一个数都可以开立方运算．3．实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上

5、的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们可以用几何作图方法，在数轴上表示某些无理数，如、等．思考：（1）－a2一定是负数吗？－a一定是正数吗？（2）是一个无理数，那么－1在哪两个整数之间？(3)的整数部分为a,小数部分为b,则a=____,b=____(4)实数包括____________或__________________；(5)下列各数：，，，0，，，，，．其中无理数有（）个七、实数大小比较的方法一、平方法比较和的大小二、移动因式法比较和的大小三、求差法比较和1的

6、大小四、求商法比较和的大小练习：比较下列各组数的大小：①和；②和；③和；④和－2.45。八、解答题1、当时，化简2、已知实数a、b在数轴上表示的点如上图，化简+3、已知是实数，且有，求的值.4、已知为有理数，且，求的平方根【课堂练习】1．无限小数包括无限循环小数和，其中是有理数，是无理数.2．如果，则是一个数，的整数部分是.3．的平方根是，立方根是.4．的相反数是，绝对值是.5．若.6．当时，有意义；7．当时，有意义；8．若一个正数的平方根是和，则，这个正数是；9．当时，化简;10．的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（）.A、

7、B、C、D、11．全体小数所在的集合是（）.A、分数集合B、有理数集合C、无理数集合D、实数集合12．等式成立的条件是（）.A、B、C、D、13．若，则等于（）.A、B、C、D、14、0.25的平方根是；125的立方根是；15．计算：=＿＿＿；=＿＿＿；的绝对值等于　　　　　．16．若x的算术平方根是4，则x=＿＿＿；若=1，则x=＿＿＿；17．若-9=0，则x=＿＿＿；若27+125=0，则x=＿＿＿；18．当x＿＿＿时，代数式2x+6的值没有平方根；19．=；20．若，则x+y=；21．若，则＝＿＿＿＿.22．立方根是－8的数

8、是＿＿＿，的立方根是＿＿＿＿。23．如果x、y满足=0，则x=，y=＿＿＿；24、如果a的算术平方根和立方根相等，则a等于；25、如果式子有意义，则x的取值范围为。26、在整数和整数之间，在整数和整数之间。27、121的算术平方根是是，的算术平方根