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1、作业每题分别用两种一步迭代法（要求写出迭代格式）：1）Newton迭代法；2）自己构造的非牛顿切线或割线法迭代格式（需讨论收敛性）根据迭代格式用计算机（器）求下列非线性方程的根：问题背景和研究目的解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免的问题之一。求解一般非线性方程没有通用的解析方法，但如果 在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则 可以认为问题已能够解决，至少可以满足实际需要。本节主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：二分法，迭代法（牛顿法）。同时要求大家学会如何利用Matlab来求方程的近似解。2.6非线性方程近似根相关概念如果f(x)是一次多项式，称
2、上面的方程为线性方程； 否则称之为非线性方程。线性方程与非线性方程问题：如何求连续的非线性方程实根的近似值。根的隔离若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，则f(x)在开区间(a,b)内至少存在一个根。通过根的隔离，可假设此区间内存在唯一根x*。基本思想二分法将隔离区间进行对分，判断出解在某个子区间内，然后再对该子区间对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。适用范围求有根区间内的单根或奇数重实根。数学原理：介值定理设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，则由介值定理可得，在(a,b)内至少存在一点使得f()=0。算法二分法设方程在区间[a,b]内
3、连续，且f(a)f(b)<0，给定精度要求，若有
4、f(x)
5、<，则x就是f(x)在区间(a,b)内的近似根。收敛性分析二分法收敛性设方程的根为x*(an,bn)，又，所以0(n)根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的区间序列{[an,bn]}，在(an,bn)中含有方程的根。二分法总是收敛的二分法的收敛速度较慢通常用来给出根的一个较为粗糙的近似。简单迭代法基本思想构造f(x)=0的一个等价方程：从某个初值x0出发，构造迭代格式得到一个迭代序列k=0,1,2,......(x)的不动点f(x)=0x=(x)等价变换f(x)的零点(x)称为迭代函数若收敛，即，假设(x
6、)连续，则收敛性分析迭代法的收敛性即注：若得到的点列发散，则迭代法失效！迭代法的收敛性判据定理2.1：全局收敛定理2.2：全局发散定理2.3：局部收敛与发散定理2.4：收敛速度定义：迭代法收敛性判断如果存在x*的某个邻域=(x*-,x*+),使得对x0开始的迭代xk+1=(xk)都收敛,则称该迭代法在x*附近局部收敛。定理1：设(x)在某个邻域内连续，且对x都有
7、’(x)
8、L<1,则迭代局部收敛。迭代法收敛性判断定理2：设，且对x[a,b]，有(x)[a,b]；对x[a,b]，有
9、’(x)
10、L<1；则对x0[a,b]，由迭代xk+1=(x
11、k)得到的点列都收敛（全局收敛），且L越小，迭代收敛越快收敛阶为了进一步研究收敛速度问题，引入阶的概念：记，如果(p=1时还要求01时称为超线性收敛。p越大收敛越快。牛顿迭代法令：基本思想：用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法设非线性方程f(x)=0,f(x)在xk处作Taylor展开牛顿迭代公式k=0,1,2,......牛顿迭代公式牛顿法的优点牛顿法是目前求解非线性方程(组)的主要方法对于单重根迭代2阶收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点充分靠近精确解时。牛顿法的缺点对重根收敛速度只有线性收敛对初值的选取很敏感，要求初
12、值接近精确解在实际计算中，如果要求高精度，可以先用其它方法（如二分法）获得精确解的一个粗糙近似，然后再用牛顿法求解。牛顿迭代法大范围收敛性Matlab解方程的函数roots(p)：多项式的所有零点，p是多项式系数向量。fzero(f,x0)：求f=0在x0附近的根，f可以使用inline、字符串、或@，但不能是方程或符号表达式！solve(f,x)：求方程关于指定自变量x的解，f可以是用字符串表示的方程、符号表达式或符号方程；solve也可解方程组(包含非线性)；得不到解析解时，给出数值解。Ab：解线性方程组Ax=b。其他Matlab相关函数g=diff(f,x)：求符号表达式f关于x
13、的导数g=diff(f)：求符号表达式f关于默认变量的导数g=diff(f,x,n)：求f关于x的n阶导数difff是符号表达式，也可以是字符串默认变量由findsym(f,1)确定>>symsx>>f=sin(x)+3*x^2;>>g=diff(f,x)>>g=diff('sin(x)+3*x^2','x')作业每题分别用两种一步迭代法（要求写出迭代格式）：1）Newton迭代法；2）自己构造的非牛顿切线或割线法迭代格式（需讨论收
