信号与系统第2版教学配套课件作者SandS-4-2.ppt

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1、ThemeGalleryPowerTemplate§4-2傅立叶级数国家“十二五”规划教材——《信号与系统》重点难点傅立叶级数的概念三角型傅立叶级数的求解4-2-1两个问题在前一讲中曾经指出，在一般线性最小二乘模型中，如果基函构成，则函数可以表示为基函数的线性加权组合，即数由不同频率分量的正弦函数集（4-2-1）4-2-1两个问题其中，对于均匀分布数据，加权系数由下列公式计算下面先提出两个问题，从而展开傅里叶级数理论。（4-2-2）4-2-1两个问题问题1：哪些函数可以用和形式描述？的加权组合根据欧拉（Euler）公式，和可以写成复指数函数形式反之，复指

2、数函数也可以用和表示，即（4-2-3）（4-2-4）4-2-1两个问题因此，问题1的等价问题就是针对常数，哪些函数可以用首先，注意到式（4-2-5）中对于每个整数，是以为周期的，所以等式右端必然是以为周期的。除非以为周期，否则不可能用式（4-2-5）描述。另一方面，一个为周期的充分连下式进行描述：已知的结论（后面将要讨论）告诉我们，每个以续的函数都可以用（4-2-5）式表示。（4-2-5）4-2-1两个问题问题2：假设已知某一特殊函数哪些函数表示，那么系数可以用的值是什么？解决这个问题并不困难，但需要一点技巧。因为式（4-2-5）是一)，且由无穷多个方程

3、（每个时间t对应一，q是整数（例如q=21，则），当时可以利用如下关系：个涉及无穷多个未知数(例如，假设求解个方程）构成的系统。如若对于每一个未知数，设法将该系统化简为一个简单方程，则问题就变的可解了。(4-2-5)4-2-1两个问题因为故对于任意整数k，有因此由此可见，利用上式可以从式（4-2-5）中消去所有的项。要做到这一点，可将式（4-2-5）等式两端同乘，并从到求积分，即（4-2-6）（4-2-7）4-2-1两个问题由式（4-2-6）可知，式（4-2-7）的等式右端对于的所有这是一个带有一个未知数的简单方程，解出为：以此类推，若用任意整数置换q，

4、则有现在，我们已经求出式（4-2-5）中全部的（傅立叶级数）系数，项都为0，因此有并且可以回答问题1了。4-2-2周期函数的傅立叶级数在针对不同类型的函数构建它们的傅立叶级数展开之前，需要首先说明什么是分段连续函数。分段连续函数是指，如果一个函数f(t)除去一些跳变的不连续点之外处处连续，则这个函数就是分段连续的。例如图4-2-1所示函数f(t)除去t=1和t=2.5两点，其它点都处处连续。图4-2-1分段连续函数4-2-2周期函数的傅立叶级数如果一个函数f(t)在处存在跳变点，则需要定义从左边和右边逼近时的f(t)的取值，这些值分别是和。如果函数f(t

5、)在处是连续的，则然而在跳变点处，。比如图4-2-1中，f(1)就不等于和。另一方面，函数f(t)在跳变点的值有时用跳变点的，在图4-2-1中，处就是这种情况。中点值代替，也就是取定理4-2-1（傅立叶级数）如果f(t)是以为周期的周期函数，若令f(t)及在区间内分段连续。则对所有，当且仅当（ifandonlyif）时，对所有整数k存在式（4-2-9）中的系数一般为复常数，称为函数f(t)的指数型傅立叶系数，而式（4-2-10）则称为函数f(t)的指数型傅立叶级数。（4-2-9）（4-2-10）4-2-2周期函数的傅立叶级数4-2-2周期函数的傅立叶级数

6、例4-2-1函数f(t)的图形如图4-2-2所示，试确定其傅立叶级数图4-2-2函数f(t)的图形的系数。4-2-2周期函数的傅立叶级数解：根据傅里叶级数理论对于k=0对于因为和在当为奇数时值为-1，当k为偶数时值为+14-2-2周期函数的傅立叶级数所以根据式（4-2-10），f(t)傅里叶级数展开为4-2-2周期函数的傅立叶级数例4-2-2函数是以为周期的函数，所以它有傅立叶级数展开式。试讨论傅立叶系数的计算方法。解：如果根据傅立叶级数的系数公式直接求傅立叶系数，但若利用Euler公式，将f(t)转换成复指数描述，则有：需要计算如下积分：4-2-2周期

7、函数的傅立叶级数与傅立叶系数公式（4-2-9）比较，可见上式右端已经成为典型的形式，故其系数为周期函数的傅立叶系数是唯一的。在对问题2的讨论中已经体现的傅立的指数型傅立叶级数展开，即了这一点。本例中利用Euler公式直接得到了叶级数展开，自然没有必要再应用系数公式计算积分了。4-2-2周期函数的傅立叶级数设函数对所有均为实数。的什么结论呢？。若在式（4-2-11）中代入，则一个数当且仅当与其复数共轭相同时才是实数。因此f(t)是实数f(t)为实数。据此可以得到关于傅里叶系数当且仅当可知当且仅当（4-2-12）式（4-2-12）中第二个等式右端的和式中用替

8、代了-k，这样做到上所有的整数，而-k也遍历了是合理的，因为k遍历了从所有整数。