信号与系统第2版教学配套课件作者SandS-4-10.ppt

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1、ThemeGalleryPowerTemplate§4-9傅立叶变换的性质国家“十二五”规划教材——《信号与系统》重点难点傅立叶变换的性质冲激信号4-10傅立叶变换的性质-引子傅立叶变换本质上是积分式的计算，因此积分运算的许多性质在傅立叶变换的计算中也将成立。应用这些性质，本节将讨论工程中常见信号的傅立叶变换。即可以直接求出一些基本信号的傅立叶变换。现考虑下面的例题。（4-10-1）4-10傅立叶变换的性质-引子讨论题4-10-1单位冲激信号的傅立叶变换可以利用的的性质直接得到式（4-10-2）表明，单位冲激信号的傅立叶变换有

2、一个极其，相应的傅立叶变换恒等于常数1。这个结果揭示了这样一个事实，即时域中一个无穷小宽度（带宽）的信号在频域中将有一个无穷大的宽度（带宽）。对于这个事实的一个解释，不妨注意一下大气中的闪电现象。定义式以及简单的形式，即在频域中，对于所有（4-10-2）4-10傅立叶变换的性质-引子作为最接近的一个自然信号，一个闪电信号的冲激往往在无线电接收机中所有频段上引起噪声。单位冲激信号和它的傅立叶变图4-10-1单位冲激信号的傅立叶变换换如图4-10-1所示。4-10傅立叶变换的性质-引子讨论题4-10-2单边指数信号当时不满足绝对对

3、于a>0，则有可积条件，即故其傅立叶变换不存在。（4-10-3）4-10傅立叶变换的性质-引子将上式转换成极坐标形式，可分别求出的幅度谱和相位谱和如下需要指出的是，根据定义式得到的傅立叶变换通常是复函数，它的函数。容易证明偶信号（满足x(-t)=x(t)）的实函数，而奇信号（满足x(t)=-x(-t)）的傅立叶的纯虚函数。在讨论题4-10-1中，单位冲激信号可以视的实部和虚部都是角频率的傅立叶变换是变换是为是一个偶函数，所以它的傅立叶变换是实数。（4-10-4）（4-10-5）4-10傅立叶变换的性质-引子另外，当试图求一些常

4、用的基本信号（如正弦、余弦和单位阶跃）的傅立叶变换时，容易发现这些信号并不满足绝对可积性条件，因此它们的傅立叶变换不存在。但是，虽然这些信号的傅立叶变换在通常意义上不存在，但是它们的傅立叶变换在广义函数的意义上是存在的。正弦、余弦、单位阶跃和某些其它常用信号的傅立叶变换可以根据频域脉冲信号得到。4-10傅立叶变换的性质-引子以下部分将介绍傅立叶变换的15个主要性质。这些性质按其特性被分成几大类，掌握这些性质对于学习电气工程、计算机、机械和生物工程等学科是绝对必要的。为讨论性质方便起见，设信号与其傅立叶变换构成一个信号与其傅立叶

5、变换构成一个傅立叶变换对：注意，用进行转换，可以方便地给出傅立叶变换的f形式傅立叶变换对：变换对。（4-10-6）（4-10-7）4-10-1尺度运算性质若设信号有傅立叶变换对，或者，则对或证明：首先假设a>0，对信号x(at)求傅立叶变换，得到（1）时间尺度变换任意正实数a，有（4-10-9）（4-10-8）4-10-1尺度运算性质对上式右端积分进行变量代换，令，代入上式有其次设a<0，则有at=-

6、a

7、t，在的积分中做变量代换，可得4-10-1尺度运算性质其中，最后一步的结果是基于a<0时，-

8、a

9、=a。作为尺度变换的特例

10、，当a=-1时，即可直接得到时间反转性质，即或（4-10-11）（4-10-10）4-10-1尺度运算性质与时间尺度变换的证明类似，连续时间傅立叶变换的频率尺度或时间尺度变换性质和频率尺度变换性质的对于信号的一个显著效应是，在某个域内的压缩必然导致另一个域内的扩展，反之亦然。（2）频率尺度变换变换性质为（4-10-13）（4-10-12）4-10-1尺度运算性质讨论题4-10-3函数有一个特性，即它与其f型傅立叶变换在形式上恰好相同，即若令并进行时间尺度变换，则相应的傅立叶变换对为图4-10-2分别给出了t为时，变换对的时域及

11、频域波形。（4-10-16）（4-10-15）（4-10-14）4-10-1尺度运算性质图4-10-2t为时变换对的时域及频域波形4-10-1尺度运算性质如图所见，时域变换是时间扩展运算，它在频域所引起的变化无疑是频率的压缩（乘一个幅度系数）。当该时域信号x(t)经过扩展后，随着时间从坐标原点向两边延伸，信号幅度时，这个幅度将趋于一个常数。信号在时域的这种变化，反映在频域中就是当x(t)以某个系数进行扩展时，它的傅立叶变换在频域中被压缩并且幅度以相同的系数增大。在的极限情况下，它的傅立叶变换变成一个冲激，即从1减小的速率趋于缓

12、慢，当（4-10-17）4-10-1尺度运算性质这种在一个域内的压缩导致另一个域内的扩展的关系构成了傅立叶分析的不确定性原理。随着式（4-10-17）中，时域信号的脉冲宽度由窄变宽而频域函数则由宽变窄。极限情况下，信号将在频域中f=0处变成一个（频域）沖激函数，而在时域内则成