平面与直线的方程(上).ppt

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1、复习向量的运算与关系加法:一、向量的直观运算三角形法则:平行四边形法则:减法:三角形法则:平行四边形法则:数乘:数量积:物理意义:力位移功向量积:长度的几何意义:向量积的长度等于以a,b为邻边的平行四边形的面积或以a,b为邻边的三角形面积的2倍。物理意义:力×力臂＝力矩；混合积:为棱作平行六面体的体积。几何意义:（底面积×高）二、向量的坐标运算设加减:数乘:点积:叉积:混合积:三、向量关系:共线第四节一、平面方程二、两平面的夹角平面与直线方程（上）第八章点法式方程截距式方程一般方程①一、平面的点法式方程设一平面通过已知

2、点且垂直于非零向称①式为平面的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有故例1.求过三点即解:取该平面的法向量为的平面的方程.利用点法式得平面的方程此平面的三点式方程也可写成一般情况:过三点的平面方程为说明:特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程.时,平面方程为分析:利用三点式按第一行展开得即二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价,②的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.特殊情形•当D=

3、0时,Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面;•当A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于x轴;•Ax+Cz+D=0表示•Ax+By+D=0表示•Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•By+D=0表示平行于y轴的平面;平行于z轴的平面;平行于xOy面的平面;平行于yOz面的平面；平行于zOx面的平面.例2.求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通过x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程三、两平面的夹角设平面∏1的法向量为平面∏2的法向量为则两平面夹角的余弦为即两平面法向量的夹角(常

4、指锐角)称为两平面的夹角.特别有下列结论：因此有例3.一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+z=0,求其方程.解:设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为且外一点,求例4设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.,则P0到平面的距离为(点到平面的距离公式)例6.解:设球心为求内切于平面x+y+z=1与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为四面体的球面方程.故内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式三点式2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:第六节作业

5、P3011-6备用题求过点且垂直于二平面和的平面方程.解:已知二平面的法向量为取所求平面的法向量则所求平面方程为化简得