复变函数复习题2008.ppt

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1、考试安排考试时间:一、2008年11月24日晚上考试地点:答疑时间:二、2008年11月21日下午晚上11月22日上午下午11月23日上午下午答疑地点:科技楼805计算数学教研室8/22/20211主要内容一、复数的几种表示及运算，区域，曲线；初等复变函数。二、柯西-黎曼方程：(1)判断可导与解析，求导数；七、Fourier变换的概念，δ函数，卷积。三、柯西积分公式，柯西积分定理，高阶导数公式。四、洛朗展式。五、留数：(1)计算闭路积分；六、保形映射：(1)求象区域；八、利用Laplace变换求解常微分方程(组)。(2)构造解析函数。(2)计算定积分。(2

2、)构造保形映射。8/22/20212一、填空题。(1)的模为，辐角主值为.。.(2)的值为的值为，..。(3)伸缩率为处的旋转角为映射w=z3-z在z=i.。，.(4)在区域D内解析的函数.。充要条件为8/22/20213(7).。(5)在z0=1+i处展开成泰勒级数的.。收敛半径为(6)z=0是(何种类型的奇点)。.的ℱ(8)，已知.。求8/22/20214四、计算下列各题：2.3.4.1.二、验证z平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使是。三、将函数在与洛朗级数。处展开为8/22/20215五、求区域在映射下的像。八、设函数在上解析，证明：七、用

3、拉氏变换求解方程：六、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。i-i8/22/20216二、验证z平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使是。故u(x,y)为调和函数(1)解:(2)方法一8/22/20217二、验证z平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使是。解:故u(x,y)为调和函数(1)(2)方法二8/22/20218三、将函数在与洛朗级数。处展开为解:(1)在z=1处128/22/20219三、将函数在与洛朗级数。处展开为解:(2)在z=2处128/22/202110四、1.解:方法一:利用留数求解z=0为二级极点,方法二:利用高阶导

4、数公式求解8/22/202111四、2.解:z=1为本性奇点,8/22/202112四、3.解:8/22/202113四、4.解:8/22/202114五、求区域在映射下的像。解:(z)(w)01∞0i∞∞∞i/21+i(1+i)/2i218/22/202115六、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。i-i(z)(w)(z2)(z1)8/22/202116七、用拉氏变换求解方程：(1)对方程两边取拉氏变换得：解：8/22/202117(2)求拉氏逆变换方法一：利用部分分式求解8/22/202118(2)求拉氏逆变换方法二：利用留数求解一阶极点二阶极

5、点，8/22/2021198/22/202120八、设函数在上解析，证明：证明：(1)奇点由于(2)左边=8/22/202121(7)0;(8)一、(1)1,π;(2)(5);(4)u,v在D内可微，且满足C—R方程(3)π,4;(6)可去奇点8/22/202122(1)预处理：使边界至多由两段圆弧(或直线段)构成。一般步骤：(2)将边界的一个交点z1映射为∞，(3)将角形域或者带形域映射为上半平面。(4)将上半平面映射为单位圆。工具：几种简单的分式映射、幂函数等。[另一个(交)点z2映射为0]从而将区域映射为角形域或者带形域。工具：工具：(对于角形域)(

6、对于带形域)工具：(无附加条件)(由附加条件确定0,z0)8/22/202123先通过Laplace变换将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)，由代数方程求出象函数，再取Laplace逆变换，就得到微分方程(组)的解．[]=工具：方法：象函数的代数方程(组)求解拉氏逆变换拉氏正变换得到象函数微分方程(组)的解微分方程(组)8/22/202124