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1、复习引入例1求焦点为(0,－6),(0,6),且过点(2,-5)的双曲线的标准方程.解法一:由题意所求双曲线焦点在y轴上,故可设所求标准方程为:∵曲线过点P(2,－5)且c=6∴a2=20,b2=16∴双曲线的标准方程为解法二:焦点在y轴上,设标准方程为∴双曲线的标准方程为例1求焦点为(0,－6),(0,6),且过点(2,-5)的双曲线的标准方程.定义法PF1F2解:如图8—22,由题意知例题2:设点P为双曲线上一点,为焦点例:已知双曲线的焦点在y轴上,且双曲线上两点的坐标分别为求双曲线的标准方程.解:
2、据题意焦点在y轴上,故可设标准方程为:因为在双曲线上,所以的坐标适合方程,所以有则方程可化为:型?所以所求方程为:评注:本例是典型的待定系数法求方程问题,列式容易,解方程难,但如将看作整体,换元后方程就化简了?若将条件“y轴”去掉思:已知双曲线的焦点在坐标轴上,且双曲线上两点的坐标分别为求双曲线的标准方程.[点评]:此题若分类讨论将繁杂,能否类似椭圆找到更具新意的解法?[答]:能.[解]:设所求双曲线方程为Ax2-By2=1(AB>0),则:[反思]:该题的解法为待定系数法,其基本步骤为定位——定型--
3、--列式,对于双曲线方程的选取,应采用:Ax2-By2=1(AB>0),则即回避讨论又降低了方程组、未知数的次数,且解二元一次方程组简捷迅速,应予以掌握.【例1】求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)焦点在x轴上，且经过点(-5,2);(2)过和两点.【审题指导】本题(1)焦点位置确定，因此可直接设出双曲线的标准方程求解；本题(2)未给出焦点具体在哪条坐标轴上，所以就焦点位置分类讨论或直接利用一般式待定系数求解.求双曲线的标准方程典例分析方法二：设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0)，∵双曲线
4、过∴解得∴所求双曲线的标准方程为【变式训练】设双曲线与椭圆有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程.【解题提示】解答本题可利用待定系数法，关键是求得A点的坐标，双曲线的半焦距c，并注意c2=a2+b2.【例2】若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是__________;若该方程表示双曲线，则m的取值范围是____________.【审题指导】本题是由双曲线标准方程的特点，求方程中参数的取值范围.需首先建立关于m的不等式(组)，然后解不等式(组)即可.注意本题的两
5、问有本质的区别.双曲线标准方程的理解应用【变式训练】(2011·永泰高二检测)方程表示的曲线为C，给出下列四个命题:①曲线C不可能是圆；②若14；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则其中正确命题的序号是__________(写出所有正确的命题的序号)【例3】如图，若F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且
6、PF1
7、·
8、PF2
9、=32，试求△F1PF2的面积.【审题指导】本题是有关双曲线的焦点三角形问题，解答本题的关键是求得∠F1P
10、F2的大小.由余弦定理，根据已知条件，结合双曲线的定义即可求得结果.双曲线的定义及应用【典例】设点P是双曲线上任意一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若
11、PF1
12、=10，则
13、PF2
14、=___________.【审题指导】本题涉及双曲线上某点到焦点的距离问题，应就点P位于双曲线的哪支，利用双曲线的定义，讨论求解.易错问题【即时训练】已知P是双曲线上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若
15、PF1
16、=17，则
17、PF2
18、的值为________.【解析】由双曲线方程知,a=8,b=6，则∵P是该双曲线上一点，∴
19、
20、
21、PF1
22、-
23、PF2
24、
25、=2a=16,又
26、PF1
27、=17,∴
28、PF2
29、=1或
30、PF2
31、=33.又
32、PF2
33、≥c-a=2,∴
34、PF2
35、=33.答案：331.方程表示()(A)双曲线(B)双曲线的一支(C)一条直线(D)一条射线【解析】选D.设P(x,y)，A(-3,0),B(3,0)，则方程表示
36、PA
37、-
38、PB
39、=6.而
40、AB
41、=6，∴方程表示一条射线.2.满足条件a=2,一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为()(A)(B)(C)(D)【解析】选A.由题可知双曲线的焦点在x轴上，a=2,c=4.∴b2
42、=c2-a2=12.∴双曲线的标准方程为3.设P为双曲线上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若
43、PF1
44、∶
45、PF2
46、=3∶2，则△PF1F2的面积为()(A)(B)12(C)(D)24【解析】选B.∵
47、PF1
48、∶
49、PF2
50、=3∶2.∴可设
51、PF1
52、=3m,
53、PF2
54、=2m，m>0.由双曲线的定义得:
55、PF1
56、-
57、PF2
58、=3m-2m=m=2a=2.∴
59、PF1
60、=6,
61、PF2
62、=4，又而
63、PF1
64、2+
65、PF2
66、2=52,
67、F1F2
68、2=
