线性代数 修订版 教学课件 作者 董晓波 电子课件 第四章4.1 向量的内积与线性变换.ppt

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1、向量的内积与线性变换§4.1定义一、向量的内积、长度及夹角设有维向量令实数称为向量与的内积.内积运算的基本性质（其中为维向量，）当时，当时，（施瓦茨（Schwarz）不等式）等号成立的充要条件是线性相关.说明维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量的长度和夹角的概念．下面利用内积来定义向量的长度和夹角定义令称为维向量的长度（或范数）.长度为1的向量称为单位向量.向量的长度具有下述性质：若向量则为单位向量.因为由得到的单位向量称为向量的单位化向量.当时，当时，证明由定义，(1)(2)性质是显然的，由施瓦茨不等式有从而即下面证明(3).由施瓦茨不等式有故由此，可引进向量夹角的

2、定义：定义当时，称为维向量与的夹角.例已知求并求与的夹角解根据定义，可求得定义一组两两正交的非零向量所组成的向量组二、正交向量组若则称向量与正交；由定义，零向量跟任何向量都正交.称为正交向量组．且若每个向量都是单位向量，则称为规范正交向量组.证明正交向量组的性质定理正交向量组必线性无关.设有常数使以左乘上式两端，得设是一组两两正交的非零向量，即要证明线性无关.类似可得出因故从而于是，向量组线性无关.故得由于两两正交，例已知两个三维向量正交，试求一个非零向量使两两正交.解设由题意与正交，则即应满足齐次线性方程组将系数矩阵化成行阶梯形从而有基础解系取即有两两正交.施密特正交化过程（从线性

3、无关组导出正交向量组的方法）设是线性无关的向量组，取这样得到的向量组两两正交，并且与向量组等价.进一步将它们单位化，即得是一个规范正交向量组.由施密特正交化过程可以说明：（1）不仅与等价，是正交向量组，线性无关；而且，对任何向量组与等价，是正交向量组，线性无关.（2）如果向量组是齐次线性方程组的基础解系，则也是的基础解系.也是的基础解系.例试用施密特正交化过程把下面的解向量组规范正交化:取再将单位化，即取则即为所求.例已知解求一组非零向量使两两正交.由题意故满足齐次方程即它的基础解系为把基础解系正交化，即取即为所求.证明定义三、正交矩阵为正交矩阵的充要条件是的列向量都是若阶方阵满足（

4、即），则称为正交矩阵，简称为正交阵.单位向量且两两正交．将用列向量表示同理，的行向量也具有类似的特性.例判别下列矩阵是否为正交阵．解所以它不是正交矩阵．（1）考察矩阵的第一列，由于所以它是正交矩阵．（2）由于例解验证矩阵是正交矩阵.的每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以是正交矩阵.单位矩阵也是正交矩阵.因为或由充要条件也易见.正交阵的性质（1）正交阵的行列式为1或-1；（2）正交阵的转置仍是正交阵；（3）正交阵的逆阵仍是正交阵；（4）两个正交阵的乘积仍是正交阵；四、线性变换定义设为阶方阵，则称为从到的线性变换，其中的方程组形式为性质正交变换保持向量的长度不变．证明若为可逆矩阵，则

5、称为可逆线性变换，简称可逆变换.称为线性变换的逆变换.定义变换，简称正交变换.若为正交阵，则称为正交线性设为正交变换，则有