线性代数 教学课件 ppt 作者 张德全PPT课件 3.1矩阵的初等变换.ppt

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1、第三章矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换3.1初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法的运算3.2矩阵的秩3.3线性方程组的解3.43.1矩阵的初等变换二一三矩阵的初等行变换矩阵的初等列变换矩阵的等价一、矩阵的初等行变换定义1下面三种对矩阵的变换，称为矩阵初等行变换：（1）互换矩阵中两行的位置。如果第两行互换，记为；（2）用任意非零常数乘矩阵的第行，记为；（3）把矩阵的第行的倍加到第行上，其中为任意常数，记为。约定：对实施一次初等行变换，变成了，记成：例1设矩阵对施以初等行变换。解由例1可以看到矩阵经过初等行变换化成矩阵称这种类型的矩阵为行阶梯形矩阵。其特点为：1）每一行首位非零元素（简称

2、首非零元）所在列的　位置逐行增加；2）零行在非零行下面。例如，都是行阶梯形矩阵。而都不是行阶梯形矩阵。?如果对例1中的行阶梯形矩阵再进一步施初等行变换，可以使它更加简化。最后这个矩阵我们称为行最简形矩阵，其特点为：1）它满足行阶梯形矩阵的特征，是一个行阶梯形矩阵；2）它每行中首位非零元素是1；3）首位非零元素所在列除1外，其它元素都是零。例如，都是行最简形矩阵。对于矩阵的初等行变换有如下几点说明：1）初等行变换可以将任意阶矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。3）三种初等行变换都是可逆的。即经变换后的矩阵再施以同类型的变换又会回到原矩阵。如2）初等行变换后的矩阵一般情况下与原矩阵不相等。

3、所以，一定要用“”来连接变换前后的矩阵。二、矩阵的初等列变换如果将对行施加的三种变换换成对列的，同样得到对列的三种变换：1）互换矩阵中两列的位置。如果第两列互换，记为2）用任意非零常数乘矩阵的第列，记为3）把矩阵的第列的倍加到第列上，其中为任意常数，记为定义2上面三种对矩阵列的变换，称为矩阵的初等列变换。同样，我们约定：对实施一次初等列变换，变成，记成：初等行变换具有的性质初等列变换也具有。定义3矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。初等变换后的矩阵一般情况下与原矩阵不相等，那么，它们之间具有什么关系呢？三、矩阵的等价定义4如果矩阵经过有限次初等列变换变成矩阵，那么，我们称

4、与列等价，记为如果矩阵经过有限次初等行变换变成矩阵那么，我们称与行等价，记为如果矩阵经过有限次初等变换化成矩阵，那么，与等价，记为我们称如果是可逆矩阵，那么经过有限次初等变换可化为，所以，单位矩阵等价矩阵具有如下性质：1）反身性：2）对称性：若则3）传递性：若则例2将矩阵化为行最简形矩阵。解（为行阶梯形）（为行最简形）从而得.例3设把化成行最简形。解若把的行最简形记作，则并可以验证，，即下一节我们将证明，，的充分必要条件是可逆，且可逆时，对于任何方阵当[注：此处仅进行初等行变换]对行最简形矩阵再施以初等列变换，可化成一种形状更简单的矩阵，称为标准形。例如对行最简形矩阵矩阵称为矩阵的标准

5、形，其特点是：的左上角是一个单位阵，其余全为0。一个矩阵，总可以经过有限次初等变换（初等行化为标准形变换和初等列变换）把矩阵【注】标准形由三个数完全确定，其中就是行阶梯形矩中非零行的行数。阵所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类,是这个等价类中形状最简单的矩阵。标准形