线性代数 教学课件 ppt 作者 张德全PPT课件 3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法.ppt

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1、3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法一二三初等矩阵的概念初等变换法求矩阵的逆矩阵逆矩阵在解矩阵方程中的应用一、初等矩阵的概念1．初等矩阵定义1由单位矩阵经过一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。2．初等矩阵的类型三种初等变换对应有三种初等矩阵。（1）交换两行（或列）。表示单位矩阵交换i、j行（列）（2）用任意常数去乘某行（或列）。第i行（列）乘非零常数k后得到的初等矩阵；后得到的初等矩阵；表示单位矩阵（3）以数乘某行（或列）加到另一行（或列）上。矩阵或表示单位矩阵第列乘常数k加到第列后得到的表示单位矩阵

2、第i行乘常数k加到第j行后得到的初等初等矩阵。这样，初等矩阵共有三类：,,。3．初等矩阵的作用：左乘变行，右乘变列用阶初等矩阵左乘，得其结果相当于对矩阵施第一种初等行变换：的第行与第行对调（）。类似地，阶初等右乘，其结果相当于对施第一种初的第列与第列对调（）。矩阵可以验证，左乘矩阵，其结果相当于以数乘的第行；右乘矩阵，其结果相当乘的第列（）。矩阵等列变换：把于以数同样，还也验证，以左乘矩阵其结果相当于对作初等行变换；以右乘矩阵，其结果相当于对作初。等列变换综上所述，可得下述定理：定理1设是一个阶矩阵，对

3、作一的左边乘以相应的阶初等矩阵；对作一次初等列变换，相当的右边乘以相应的阶初等矩阵。初等行变换，相当于在次于在【注】这里乘以相应阶初等矩阵的意思是：作一次什么样的初等变换，就相当于乘以对作同样初等变换得到的初等矩阵。对4．初等矩阵的可逆性因为，，所以，，。即：初等矩阵都是可逆矩阵，且初等矩阵的逆矩阵仍是同类的初等矩阵。二、初等变换法求矩阵的逆矩阵1．矩阵可逆的两个充分必要条件在上一章已经得到：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是：A的。现再给出两个充分必要条件。行列式引理初等变换不改变矩阵的可逆性。证明不妨设

4、阶矩阵经过一次初等行变换化成矩阵，则存在初等矩阵使若可逆，则可逆；又若可逆，则可逆。由定理1，可得：定理2阶矩阵，则可逆的充分必要条件是只通过初等行（列）变换化为单位矩阵。为定理3设为阶矩阵，则可逆的充分必要条件是使。存在有限个初等矩阵证明：（必要性）因为可逆，则可只通过行（列）。初等变换化为单位矩阵所以，。若记，则是初等矩阵的乘积。（充分性）若存在初等矩阵，使因为可逆，从而可逆，所以可逆。例1设把表示成初等矩阵的乘积。解见§3.1例3可逆的一个重要意义是可以分解为初等（或）相当于对施行若干【注】矩阵矩

5、阵的乘积。这时推论1阶矩阵与等价的充分必要条件是存阶可逆矩阵阶可逆矩阵，使在及次初等行（列）变换。2．求矩阵逆矩阵的初等变换法因为可逆，据定理2，有初等矩阵使，即。于是上两式表明：经一系列初等行变换化为，则可经这同一系列初等行变换化为。用分块矩阵形式，两式可以合并为或即对矩阵作初等行变换，当把化为时，就化成了。)(【注】上面介绍的方法中，只能用行变换，不能用列变换。例2设求。解所以同样地，也可以利用矩阵的初等列变换方法求矩阵的阶矩阵逆矩阵。这时，对进行初等列变换，当上半子块化为时，可逆，且下半子块就是。

6、即若上半子块能够化为时，说明可逆，否则，不可逆。【注】在这种方法中，只能用列变换，不能用行变换。例3求矩阵的逆矩阵。解故【注】设和都是阶方阵，则求它们逆矩阵的方法有如下几种：（1）定义法。若，则A是可逆矩阵，且。（2）利用推论1。若或，则和都可逆，并且（3）公式法。若，则矩阵A可逆，且。（4）初等变换法。，或（5）用分块矩阵求逆矩阵。三、逆矩阵在解矩阵方程中的应用设有阶可逆矩阵及矩阵，满足矩阵的如何快捷得到？直接有方程因为可逆，据定理2，有初等矩阵，使，即。于是上两式表明：经一系列初等行变换化为，则可经

7、这同一系列初等行变换化为。用分块矩阵形式，两式可以合并为或即对矩阵作初等行变换，当把化为时，就化成了。特别地，当时，若，则可逆，且。这便是前面给出的结论。同理，若，则有。即【注】上半子块能够化为时，说明可逆，不可逆。否则