高等数学教学教学教案（同济六版）11-6 对坐标地曲面积分.ppt

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1、第六讲对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念二、对坐标的曲面积分的性质三、对坐标的曲面积分的计算四、两类曲面积分之间的联系对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念二、对坐标的曲面积分的性质三、对坐标的曲面积分的计算四、两类曲面积分之间的联系一、对坐标的曲面积分的概念（一）预备知识（二）引例（三）对坐标的曲面积分的定义一、对坐标的曲面积分的概念（一）预备知识（二）引例（三）对坐标的曲面积分的定义曲面的侧通过曲面上任一点处法向量的指向来指定例：上侧下侧前侧后侧右侧左侧有向曲面规

2、定了侧的曲面流向平面一侧的流量设有一面积为A的平面闭区域单位时间内流向区域指定侧的流量流体流速为v流向平面一侧的流量设有一面积为A的平面闭区域流体流速为v单位时间内流向区域指定侧的流量流向平面一侧的流量设有一面积为A的平面闭区域流体流速为v单位时间内流向区域指定侧的流量流向平面一侧的流量设有一面积为A的平面闭区域流体流速为v单位时间内流向区域指定侧的流量流向平面一侧的流量设有一面积为A的平面闭区域流体流速为v单位时间内流向区域指定侧的流量有向曲面在坐标面上的投影A在xoy面上的投影区域的面积A在

3、xoy面上的投影区域的面积的代数值称为A在xoy面上的投影.分别称为A在yoz面和zox面上的投影.上述问题中,设流向平面一侧的流量设有一面积为A的平面闭区域流体流速为v单位时间内流向区域指定侧的流量有向曲面在坐标面上的投影设是有向曲面,在上取一小块曲面在xoy面上的投影区域的面积为规定在xoy面上的投影为假定上各点处法向量的方向余弦有相同的符号.ΔS在xOy面上的投影区域的面积附以一定的正负号类似可定义一、对坐标的曲面积分的概念（一）预备知识（二）引例（三）对坐标的曲面积分的定义一、对坐标的曲

4、面积分的概念（一）预备知识（二）引例（三）对坐标的曲面积分的定义流向曲面一侧的流量分割:求和:取极限:取近似:流速设稳定流动的不可压缩流体,Σ为一有向曲面?单位时间流向Σ指定侧的流量一、对坐标的曲面积分的概念（一）预备知识（二）引例（三）对坐标的曲面积分的定义一、对坐标的曲面积分的概念（一）预备知识（二）引例（三）对坐标的曲面积分的定义定义记作其中R(x,y,z)称为被积函数,Σ称为积分曲面.即设Σ是光滑的有向曲面,R(x,y,z)在Σ上有界,把Σ任意分成n小块ΔSi(ΔSi同时也代表第i小块的

5、面积),如果各小块曲面直径的最大值λ→0时,总存在,是ΔSi上任意取定的一点,则称此极限为函数Ｒ(x,y,z)在有向曲面Σ上对坐标x,y的曲面积分.ΔSi在xoy面上的投影为类似可定义函数Ｐ(x,y,z)在有向曲面Σ上对坐标y、z的曲面积分及函数Q(x,y,z)在有向曲面Σ上对坐标x、y的曲面积分,分别为注(1)(2)函数P,Q,R在有向光滑曲面Σ上连续,第二类曲面积分存在.应用中经常出现组合形式的第二类曲面积分以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分.通常记为：对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分

6、的概念二、对坐标的曲面积分的性质三、对坐标的曲面积分的计算四、两类曲面积分之间的联系对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念二、对坐标的曲面积分的性质三、对坐标的曲面积分的计算四、两类曲面积分之间的联系线性性质可加性与侧有关对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念二、对坐标的曲面积分的性质三、对坐标的曲面积分的计算四、两类曲面积分之间的联系对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念二、对坐标的曲面积分的性质三、对坐标的曲面积分的计算四、两类曲面积分之间的联系定理设R(x,y,z)在曲面Σ上连

7、续,Σ的方程为z=z(x,y)则曲面积分且存在Σ在xoy面上的投影区域为Dxy,z=z(x,y)在Dxy上有连续偏导数,（Σ为上侧取正号；Σ为下侧取负号）注(1)对坐标的曲面积分的计算归结为计算一个二重积分!(2)化为二重积分中的三个变化ΣDxyR(x,y,z)(3)注意:必须向xoy面投影，Dxy的面积为零时，曲面积分为零.(4)口诀:一投、二代、三定号.（Σ为上侧取正号；Σ为下侧取负号）其它公式Σ：Σ：（Σ为上侧取正号；Σ为下侧取负号）（Σ为右侧取正号；Σ为左侧取负号）（Σ为前侧取正号；Σ为

8、后侧取负号）对坐标的曲面积分计算步骤明确Σ的方程化为二重积分确定一投二代三定号积分曲面Σ被积函数面积元素Dxy计算二重积分明确对坐标的曲面积分计算步骤明确Σ的方程化为二重积分确定计算二重积分对坐标的曲面积分解题模板···∴Σ的方程为:···Ｄxy:···求投影!必须有明确Σ:···由···得:Ｄxy···取···侧必须指明侧!例1其中是长方体Ω的整个表面的外侧,计算曲面积分例2计算曲面积分其中是球面外侧在x≥0,y≥0的部分.对坐标的曲面积分一、坐标的曲面积分的概念二、对坐标的曲面积分的性质