2011走向高考数学5-5

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1、●基础知识一、正弦定理1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.(R为外接圆半径)2．正弦定理的三种变化(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(3)abc＝sinAsinBsinC.二、余弦定理1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于减去的两倍．即：a2＝；b2＝；c2＝；其他两边平方的和这两边与它们夹角的余弦的积b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC2．余弦定理的变式cosA＝；cosB＝；cosC＝.三、三角形面积公式常用的三角形面积公式有

2、：S△＝aha(ha表示a边上的高)；S△＝absinC＝＝S△＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．四、三角形中的边角关系1．内角和定理：.2．三角形中任意两边之和，任意两边之差．3．边角不等关系：A＞B⇔⇔；A＜B⇔⇔.A＋B＋C＝π大于第三边小于第三边a＞bsinA＞sinBa＜bsinA＜sinB●易错知识一、不讨论造成失误1．在△ABC中，已知a＝xcm，b＝2cm，B＝45°，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的范围是________．2．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．

3、答案：2＜a＜8二、正余弦定理应用失误3．在△ABC中，D是BC边上一点，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝BC＝a，则的最大值为________．三、不注意角的范围易出错4．判断下列三角形的形状(1)sin2A＝sin2B(2)cos2A＝cos2B(3)tan2A＝tan2B(4)sinA＝cosB你一定会出错！不信试一试．答案：(1)A＝B或A＋B＝90°等腰或直角三角形(2)A＝B等腰三角形(3)A＝B或

4、A－B

5、＝90°等腰或钝角三角形(4)A＋B＝90°或A－B＝90°直角或钝角三角形．●回归教材1．(教材P1443题改编)

6、已知△ABC中，a＝B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°答案：C2．在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为()答案：A3．在△ABC中，下列等式总能成立的是()A．acosC＝ccosAB．bsinC＝csinAC．absinC＝bcsinBD．asinC＝csinA解析：由正弦定理知⇒asinC＝csinA，故选D.答案：D4．(教材P1636题改编)在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D

7、．等边三角形解析：由题设知sin(A＋B)＋sin(A－B)＝sinC，且A＋B＋C＝180°，所以sin(A－B)＝0.故A＝B.故选C.答案：C5．a、b、c是△ABC的三边，B＝60°，那么a2－ac＋c2－b2的值()A．大于0B．小于0C．等于0D．不确定∴a2＋c2－ac－b2＝0.故选C.答案：C【例1】(2006·全国Ⅱ)已知△ABC中，∠B＝45°，AC(1)求BC边的长；(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．[分析]解斜三角形的关键在于灵活地运用正弦定理和余弦定理，熟练掌握用正弦定理和余弦定理解决问题，要注意由

8、正弦定理求B时，应对解的个数进行讨论；已知a,b,A,求c时,除用正弦定理外，也可用余弦定理a2＝b2＋c2－2abcosA求解．sinA＝sin(180°－45°－C)由正弦定理知(2009·全国Ⅰ，17)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.解析：由余弦定理得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2.①又sinAcosC＝3cosAsinC，sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，si

9、n(A＋C)＝4cosAsinC，sinB＝4sinCcosA.由正弦定理得sinB＝sinC，故b＝4ccosA.②由①、②解得b＝4.【例2】在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断三角形的形状．[分析]利用正、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．[解答]方法一：由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，得a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]∴

10、2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.由正弦定理得sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA.即sin2A·sinAsinB＝sin2B·sinAsinB.∵0