由递推关系求通项公式的类型与方法.doc

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1、由递推关系求通项公式的类型与方法递推公式是给出数列的基本方式之一，在近几年高考题中占着不小的比重。2008年高考数学19份理科试卷，共19道数列部分的解答题，其中有17道涉及递推数列，（福建卷理科有两道题涉及数列问题，江苏卷、江西卷中数列题不涉及递推），说每卷都有数列问题，数列必出递推也不为过。不能不感受到高考数学试题中“递推”之风的强劲。为此本文主要以2008年试题为例重点研究由递推关系求数列通公式的类型与求解策略。一、递推关系形如：的数列利用迭加或迭代法得：，（）例1（08天津文20）在数列中，，，且（）．（Ⅰ）设（），证明是等比数列；高考资源网（Ⅱ）求数列的通项公式

2、；（Ⅲ）略（Ⅰ）证明：由题设（），得，即，．又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）解法：由（Ⅰ），，　　　，（）．所以当时，上式对显然成立．二、递推关系形如：的数列利用迭乘或迭代法可得：，（）例2（2008天津理22）在数列与中，，数列的前项和满足,为与的等比中项，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列与的通项公式；解：（Ⅰ）易得，．（Ⅱ）由题设　①　　（）时　②①式减去②式，整理得，即，所以　时，　此式对也成立．由题设有，所以，即，．令，则，即．由得，．所以，即，．三、递推关系形如：（p,q为常数且，）的数列（线性递推关系）利用不动点求出的根，递推关系可化为，利用等比数列

3、求出的表达式，进而求出例3（2008安徽文21）设数列满足其中为实数，且（Ⅰ）求数列的通项公式解：当时，是首项为，公比为的等比数列。，即。当时，仍满足上式。数列的通项公式为。四、递推关系形如：（,为常数且，）的数列令与比较解出系数x，y构造等比数列例4（08湖北理21）已知数列和满足,其中为实数，为正整数，求数列、的通项公式（稍加改编）解：①令整理后与①式比较对应项系数得,,五、递推关系形如：的数列（为常数且）常化为，利用第三种类型求出后解出；例5．（2008四川理20）设数列的前项和为，已知（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；（Ⅱ）求的通项公式解：由题意知，且两式相减得即①（

4、Ⅰ）略（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即当时，由①得因此得六、递推关系形如：（为常数且）的数列可化为=求出的表达式，再求例6．（2008年山东理19）将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：……记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．（Ⅰ）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；解：（Ⅰ）证明：由已知，当时，，又，所以，又．所以数列是首项为1，公差为的等差数列．由上可知，．所以当时，．因此七、递推关系形如：或的数列可采用取倒数方法转化成为形式利用前面的第三类方法解决。例7（2008年高考陕西理22）已知数列的首项，，．（Ⅰ）求的通项公式；解：（Ⅰ

5、），，，又，是以为首项，为公比的等比数列．，．八、Sn法求与前n项和Sn有关的数列通项时，通常用公式作为桥梁，将Sn转化为的关系式求或将转化为Sn的关系式先求Sn进而求得。例8、（2008年全国Ⅱ20）设数列的前项和为．已知，，．（Ⅰ）设，求数列的通项公式；解：（Ⅰ）依题意，，即，由此得．因此，所求通项公式为，．九：数学归纳法例9、（2008辽宁理21）在数列中,,且成等差数列,成等比数列.⑴求及,由此猜测的通项公式,并证明你的结论;解析：（Ⅰ）由条件得由此可得．猜测．用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，．

6、所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知对一切正整数都成立．