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《高三数学教案：由递推关系求通项公式的类型与方法.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、由递推关系求通项公式的类型与方法递推公式是给出数列的基本方式之一，在近几年高考题中占着不小的比重。2008年高考数学19份理科试卷，共19道数列部分的解答题，其中有17道涉及递推数列，（福建卷理科有两道题涉及数列问题，江苏卷、江西卷中数列题不涉及递推），说每卷都有数列问题，数列必出递推也不为过。不能不感受到高考数学试题中“递推”之风的强劲。为此本文主要以2008年试题为例重点研究由递推关系求数列通公式的类型与求解策略。一、递推关系形如：an1anf(n)的数列利用迭加或迭代法得：ana1f(1)f(2)Lf(n1)，（n2
2、）例1（08天津文20）在数列{a}中，a1，a22，且an1(1q)aqa（n2,q0）．n1nn1（Ⅰ）设bnan1an（nN*），证明{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）略（Ⅰ）证明：由题设an1(1q)anqan1（n2），得an1anq(anan1)，即bnqbn1，n2．又b1a2a11，q0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）a2a11，a3a2q，ana1(a2a1)(a3a2)L(anan1)11qq2Lqn2，（n2）．1qn1所以当n2时，an11q
3、,q1,1显然成立．上式对nn,q1.二、递推关系形如：an1anf(n)的数列利用迭乘或迭代法可得：ana1f(1)f(2)Lf(n1)，（n2）例2（2008天津理22）在数列an与bn中，a11,b14，数列an的前n项和Sn满足nSn1n3Sn0,2an1为bn与bn1的等比中项，nN*.（Ⅰ）求a2,b2的值；（Ⅱ）求数列an与bn的通项公式；解：（Ⅰ）易得a23，b29．（Ⅱ）由题设nSn1(n3)Sn①第-1-页共6页（n2）时(n1)Sn(n2)Sn1②①式减去②式，整理得nan1(n2)an，即an1n2
4、，n2所以annn3时，ananan1a3a2n1nn143n(n1)an1an2a2n1n2n322n(n1)此式对n1,2也成立．an2由题设有bn1bn4an12，所以bn1bn(n2)2(n1)2，即bnbn11，nN*．(n1)2(n2)2令xnbn，则xnxn11，即xn111得xn1，n1．所以bn1，(n1)2．由x1(n1)2xn即bn(n1)2，n．1三、递推关系形如：an1panq（p,q为常数且p1，q0）的数列（线性递推关系）利用不动点求出xpxq的根xpq，递推关系可化为an1q1p(anq)，
5、1pp1利用等比数列求出anq的表达式，进而求出anp1例3（2008安徽文21）设数列an满足a1a,an1can1c,cN*,其中a,c为实数，且c0（Ⅰ）求数列an的通项公式解：Qan1can1c,cN*,an11c(an1)∴当a1时，an1是首项为a1，公比为c的等比数列。∴an1(a1)cn1，即an(a1)cn11。当a1时，an1仍满足上式。∴数列an的通项公式为an(a1)cn11(nN*)。四、递推关系形如：an1pananb（p,a为常数且p1,p0，a0）的数列令an1x(n1)yp(anxny)与
6、an1pananb比较解出系数x，y构造等比数列第-2-页共6页例4（08湖北理21）已知数列{an}和{bn}满足a1,2n其中为实数，n为正整数，求数列{an}、{bn}an13ann4,bn(1)(an3n21),的通项公式（稍加改编）解：Qan12ann4,令an1x(n1)2anxny,整理后与①式比较3①y31x12对应项系数得3x3,y21an13(n1)2121,1an3nx43y32n12n1an3n21（a1318,21)33an3n212183n1n1,bn2183五、递推关系形如：an1panqn
7、的数列（p、q为常数且q0）常化为an1pan1，利用第三种类型求出an后解出an；qn1qqnqqn例5．（2008四川理20）设数列an的前n项和为Sn，已知ban2nb1Sn（Ⅰ）证明：当b2时，ann2n1是等比数列；（Ⅱ）求an的通项公式解：由题意知a12，且ban2nb1Snban12n1b1Sn1两式相减得ban1an2nb1an1即an1ban2n①（Ⅰ）略（Ⅱ）当b2时，由（Ⅰ）知ann2n12n1，即ann12n1当b2an1ban1时，由①得22n22n1第-3-页共6页因此an11ban1)an1（
8、11bn12n1b22(nb22nb2）()2b22得an212n22bbn1n1b六、推关系形如：an1anpan1an（p常数且p0）的数列可化11=p求出1的表达式，再求ananan1an例6．（2008年山理19）将数列an中的所有按每一行比上一行多一的排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7
