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1、一、概率的加法公式二、条件概率与乘法公式三、全概率公式与贝叶斯公式四、小结第三节 概率的运算法则一、概率的加法公式概率的有限可加性定理1推论1对任一事件A，有推论2若A，B为任意两事件,则P(A-B)=P(A)-P(AB)定理2若A，B为任意两事件，则推广三个事件和的情况n个事件和的情况解分别用A2与A3表示抽到两个与三个白球，则A2与A3互斥.由加法法则，所求概率为例1袋中有大小相同的7个球，4个是白球，3个为黑球,从中一次任取3个，求至少有两个是白球的概率.例250个产品中有46个合格品与4个废品，从中任取3个，求其中有废品的概率.解用Ai
2、表示取到i个废品,则A1，A2，A3互斥故另解考虑到故注该题的两种解法较为典型：前者是直接对待求事件进行互斥分解，但计算较繁琐；后者是从待求事件的对立事件出发，利用了对立事件概率之和为1的性质，简化了计算.例3你的班级中是否有人有相同的生日？这一事件的概率有多大？解设A表示n个人组成的班级中有人生日相同.则基本事件总数为365n，但A的基本事件数不易确定.可见而的基本事件数为故P(A)=1-P()，当n=30时，可求出当n=50时，可求出并设人的生日在一年365天的每一天是等可能的，二、条件概率与乘法公式1.条件概率(1)取到废品的概率；(2)
3、已知取到的是不合格品，它是废品的概率.解(1)设A表示“取到废品”，则(2)基本事件总数为5，引例有100件产品，其中有5件是不合格品，包括3件次品与2件废品，任取一件，求而相应地，P(A)称为无条件概率.定义在事件B已发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A在给定B下的条件概率，简称为A对B的条件概率，记作P(A
4、B)，注1.计算P(A
5、B)时，B的发生导致了新的样本空间.一般设P(B)>0.2.可以验证，由此定义出的条件概率仍然满足概率的3条公理，即条件概率也是概率.例4全年级100名学生中，有男生(事件A)80人，女生20人；来自北京的
6、(事件B)有20人，其中男生12人，女生8人；试写出解注可看出2.乘法公式定理3若P(A)>0，则有若P(B)>0，则有即有例5袋中有5个球，其中3个红球2个白球，现从袋中不放回地连取两个，已知第一次取得红球，求第二次取得白球的概率.解设A表示第一取得红球，B表示第二次取得白球,则求P(B
7、A)方法一按定义因为第一次取走了一个红球,袋中只剩下4个球,其中有两个白球,再从中任取一个,取得白球的概率为2/4,所以方法二按乘法法则由乘法法则注条件概率的计算方法：(1)若问题比较简单，可根据实际意义，直接由定义求P(B
8、A)；(2)当问题比较复杂时，可
9、在原样本空间中先求出P(AB)和P(A)，再由乘法公式求出P(B
10、A).例6某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4，如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少?设A表示“能活20岁以上”的事件，B表示“能活25岁以上”的事件,则有解解设表示事件“第i次取到黑球”，例7（传染病模型）已知一罐中盛有m个白球，n个黑球。现从中任取一只，记下颜色后放回，并同时加入与被取球同色球a个，试求接连取球3次，3次均为黑球的概率.则所求即为.可以验证有：此模型常被用作描述传染病的数学模型.1.全概公式三、
11、全概公式与贝叶斯公式引例一个仓库中堆放着甲、乙两个车间的相同产品，各占70%和30%，已知甲车间的次品率为1%，乙车间的次品率为1.2%，现从该仓库任取一件产品，求取到次品的概率.分析次品的来源为甲、乙两个车间的产品,用事件来体现这个分类是关键.解设B1={取到甲车间产品}，B2={取到乙车间产品}A={取到次品}可先将A分解成互斥的两部分:A＝AB1＋AB2其中，AB1为甲车间次品、AB2为乙车间次品.由互斥事件加法公式可得P(A)=P(AB1∪AB2)=P(AB1)+P(AB2)再由概率乘法公式可得P(A)=P(B1)P(A
12、B1)+P(B
13、2)P(A
14、B2)=0.7×0.01+0.3×0.012=0.0106注1.求解的关键在于将需要讨论的事件A分解成互斥的甲车间次品(AB1)和乙车间次品(AB2)两部分，而这个分解是通过将所有产品()分为互斥的两部分B1和B2来实现的.2.推广到更为一般的情形是:将样本空间按某种已知方式划分为有限个两两互斥的部分B1，B2，···，Bn，A是中的任意的事件，作为的一部分，A也相应被划分为两两互斥的有限个部分AB1，AB2，···，ABn.图示如果能计算出A的各个子事件AB1，AB2，···，ABn的概率P(AB1)，P(AB2)，···
15、，P(ABn)，而作为它们的和事件A的概率P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(ABn)将上述思想具体地用公式表达出来，就可以得到非常重要的概率计
