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1、解题教学的价值，在反思中延伸蒋爱奇（湖南省新宁县马头桥镇石洞至上学校422716）好习题是基本习题的通俗说法，之所以“好”，谓之“基木”，是因为其学习的价值高。解题中，我们若能及时反思，用数学的眼光有意识地去挖掘题中蕴含的教学资源，不仅能有效地防止题海战术，防止丢"标〃丢〃本〃抓资料，而且有利于形成合理的知识体系和认识结构，提升解题能力和创新能力。现以课标湘教版数学九年级上册第82页4题为例，浅探其学习价值。基本习题：如图1,一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=30cmzAD=20cng从这张硬纸片上剪下一个正方形
2、EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G,H分别在AC,AB上（即正方形EFGI面积最大，本文把这一剪法或画法简称为在三角形中内接一个最大正方形一一笔者注）。求这个正方形的边长。分析：由题设求解是不难的，难能可贵的是在求解后能及时反思其过程和结论，从中有所发现。C因为AD是边BC上的高，口EFGH是正方形/.FG±BC,AD±BC,EH±BC・・・FG
3、
4、AD
5、
6、EHFGCFEHBE•…AD~CD'AD_BD又因FG=EHFGEHCFBE•———^~AD~~D~~CD~~BDEHCFBECF+BE■——CD^BD又因CF+BE
7、=BC-EF,EF=EHfCI>BD=BCEHBC-EFBC-EH•——*AD~BC~BC・•・EH•BC=AD•(BC-EH)，即E卡乂*竺AD+BC至此，利用题中的已知条件，求这个正方形的边长已是太容易不过了。但倘若只由题设易知：,1=匹到此为止，显然只是就题论题。就题论题的最大缺限就是失视了最佳学习契机，它与有效的数学学习背道而驰。有效的数学学习过程不能单纯地依靠模仿与记忆，应该通过观察、猜想、验证、推理等数学活动，形成自己对数学知识的理解，从而使知识得以内化，方法得以迁移，能力得以形成。此时我们应有数学意识地去反思其过程
8、和结论。在深度反思中，我们在观察①式时就会猛然醒悟7我发现了一条’定理’这一发现不亚于牛顿发现万有引力定律。这条〃定理〃用语言描述就是：锐角三角形中内接最大正方形的边长是这个三角形底与高的积跟这组底与高的和的商。这一发现至此还只是一个大胆的猜测。它在其它三角形中是否也成立呢？这显然需要验证。回顾这一习题的题设，这一发现显然在一般三角形中是成立的，那么在特殊情况下呢？这自然而然要做深一步的探究：由一般到特殊，探究和验证这一发现。特殊习题：如图2,RtAABC中，BC=a,AC=b,它内接一个最大正方形ADEF,求正方形ADEF的边
9、长。一n简析：这道题是以上基本习题的特殊化:把锐角三角形变成直角三角形。我们用已有的“从一般到特殊〃这一演绎推理知识，不仅知道①式在此题中成立，且能很轻松的完成其验证（求解）过程，并且会得出这一结论：直角三角形中内接最大正方形的边长等于两直角边的积与两直角边的和的商。拓展习题：如图3,Rt^ABC中，仙丄AC,AB=3,AC=4,它内接一个矩形ADPE,当5心为最大时，试求BP的长，并求最大值是多少？简析：显然，这一习题是由以上特殊习题拓展而来。由题意可知，BP的长是由内接矩形的大小决定的，要求其长，必先求Jge的最大值。矩形的
10、长和宽不易直接求出，但由题意不难看出它们都与BP的长有着直接或间接的联系。据此，我们可在矩形的面积与BP的长之间建立函数关系式，从中求解。解：设BP的长为兀，矩形ADPE的面积为y,人_2°43艮卩EP=-x,DP=-x(5・x)整理得y=-—x(x--)2+3252・••当=—时/y最大=32同样，由此题的解不难猜测并验证这样一个结论：直角三角形两直角边的中点和斜边中点所连成的两条中位线，与两直角边围成了内接最大矩形。延伸习题:(2008年潍坊市中考题)如图4,RtAABC中，AB丄AC,AB=3,12x12x2CAC=4,P
11、是BC±一点,作PE丄AB于£,PD丄AC于D,^BP=x,贝\PD^PE=(B-4-i简析：由以上拓展习题的探索中可知，矩形ADPE的面积以及它的长和宽的长，都随P点移动而变化，即P点不定，其长与宽的长度和也就不定，长与宽的长度和跟BP的长有函数关系，且是一次函数关系，从而据此可去掉C；D两个选项。余下的两选项,我们可用拓展习题中的特例再次进行筛选：当P为BC的中点时，长与宽的长度和等于两直角边长度和的一半。显然应选人当然，此题根据拓展习题的计算思路也是很容易得到答案的。好习题中蕴含的教学资源是极其丰富的，仅从上述探究可见
12、，解题中我们若能充分挖掘题中蕴含的教学资源，及时地进行反思和探索，不仅能很好的培养自身的学习兴趣、启迪思维、实现积极主动探究，也能有效地形成良好的数学思维习惯和创新精神。当然，要充分挖掘题中蕴含的教学资源，使之价值得以最大实现，首先还得有敢于猜测并积极探索的精神
