梁的挠度和转角.ppt

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回顾：弯曲内力——在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。弯曲应力——在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的分布规律。本章:弯曲变形——在外力作用下，梁在空间位置的变化规律。 研究弯曲变形的目的（1）刚度计算；（2）解简单的超静定梁。本章的基本内容：一、弯曲变形的量度及符号规定；二、挠曲线及其近似微分方程三、计算弯曲变形的两种方法(1)积分法(2)叠加法四、刚度条件提高梁弯曲刚度的措施五、用变形比较法解简单的超静定梁。 一、弯曲变形的量度及符号规定 ypc梁的挠度和转角wxcx1、度量弯曲变形的两个量：（1）挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线位移ω称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移）（2）转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所转过的角位移θ称为转角。 ypc梁的挠度和转角wxcxW（-）θ（-）2、符号规定：（1）坐标系的建立：坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。（2）挠度的符号规定：向上为正，向下为负。（3）转角的符号规定：逆时针转向的转角为正；顺时针转向的转角为负。 二、挠曲线及其近似微分方程 1、挠曲线：在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。FqM轴线弯曲后梁的轴线（挠曲线）纵向对称面 2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(1)MAB＝MCD＝0答案DMBC＝const FA＝0ACDB答案DFB＝0MCD＝const FA＝0pplF＝PACBDB答案CMBD＝constMMplBBpplpplppplpl 3、挠曲线的近似微分方程(1)曲率与弯矩、抗弯刚度的关系纯弯曲横力弯曲＝（l／h＞5）＋－ max＝（0.01－0.001）l；01or0.0175rad.max横力弯曲＝d2M（x）＋＝＋－－dx2EI (2)挠曲线近似微分方程符号及近似解释w2dw02dxM02MMox2d选取如图坐标系，则弯矩M与恒为同号2dx近似解释：d2M（x）（1）忽略了剪力的影响；＝dx2EI（2）由于小变形，略去了曲线方程中的高次项。 (3)选用不同坐标系下的挠曲线近似微分方程22 三、计算弯曲变形的两种方法 1、积分法——基本方法利用积分法求梁变形的一般步骤：（1）建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程；分段的原则:①凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；②凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；③中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应作为分段点； (2)分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：d1(x)(M(x)dxc)dxEI再积分一次，得挠曲线方程：1(x)(M(x)dx)cxDEI (3)利用边界条件、连续条件确定积分常数①积分常数的数目——取决于的分段数M(x)——n段积分常数——2n个举例：M(x)分2段，则积分常数2x2=4个 ②积分常数的确定——边界条件和连续条件：边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。边界条件积分常数2n个=2n个连续条件 A0B左B右边界条件：连续条件：0AB左B右 A0D左D右解：边界条件：A0连续条件：D左D右C0B左B右 物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得CEIo即坐标原点处梁的转角，它的EI倍就是积分常数C；DEI即坐标原点处梁的挠度的EI倍就是积分常数D。o几何意义：C——转角D——挠度(4)建立转角方程和挠曲线方程；(5)计算指定截面的转角和挠度值，特别注意max和及其所在截面。max 例题悬臂梁受力如图所示。求A和A。解：yq取参考坐标系Axy。B1、列出梁的弯矩方程AX``x12LM(x)qx(0xL)22、2dM(x)122EI"qxdxEIz2积分一次：13（1）EI'EIqxC6积分二次：14EIqxCxD（2）24 3、确定常数C、D.13由边界条件：xL,0代入（1）得：CqL614xL,y0代入（2）得：DqL8代入（1）（2）得：11313(qxqL)EI6634114qLqL(qxx)EI2468 将x0代入得：3qLA（与C比较知：EIAC）6EI4qLA（与D比较知：EID）A8EI因此常数C表示起始截面的转角×刚度(EI)常数D表示起始截面的挠度×刚度(EI) 例题一简支梁受力如图所示。试求(x),(x)和,。Amax解：yxF1、求支座反力xCBAFbFaxF,FAyByabLLLFBy2、分段列出梁的弯矩方程FAyAC段(0xa)BC段(axL)FbFbM(x)Fxx,M(x)xF(xa),1A2LLFbFbEI1"x,EI2"xF(xa),LL AC段(0xa)BC段(axL)Fb2Fb2F2EI'EIxC,EI'EIx(xa)C1112222L2L2EIFbx3CxD,Fb3F()3,111EIxxaCxD6L2226L63、确定常数由边界条件：x0,A0（1）xL,B0（2）由光滑连续条件：xa时，（3）12xa时，（4）12可解得：Fb22C1(Lb)C2,D1D206L 则简支梁的转角方程和挠度方程为BC段(axL)AC段(0xa)2Fb222(x)Fb[3x2(L2b2)]F(xa),(x)[3x(Lb)],216LEI6LEI2Fb322(x)Fb[x3(L2b2)xL(xa)3]1(x)[x(Lb)x],26LEI6LEI64、求转角x0代入得：22Fb(Lb)A1x06LEIxL代入得：Fab(La)B2xL6LEI 5、求max。d由0求得max的位置值x。dx22Fab(ab)Fb(Lb)A0,C1xa0(ab)6LEI3LEI0在AC段。则由Fb222(x)[3x(Lb)]016LEI解得：22Lbx3 代入y(x)得：13222Fb(Lb)max93EIL若ab则：23FLLmaxx248EImax 积分法求梁变形举例：用积分法求图示梁的B、、、：BCC １．分段建立弯矩方程：AB段：2qlM(x1)（0