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1、22数学通讯 2001年第9期不等式证明问题的思考方法胡汉明(温岭市文昌中学,浙江317523)中图分类号:O123.3-42 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)09-0022-0222 不等式的证明是中学数学中的一个难点.如何12(c-2)b+12c-36c+36=6[b+(c-2)]+6(c2寻求不等式的证明思路是中学生常感到困惑的问-1)+6≥6,题,本文通过对一道不等式证明问题的多角度思考当b+(c-2)=c-1=0时取等号,此时a=b来说明不等式证明中一些常用的思想方法.=c=1.题 已知
2、a,b,c∈R,且a+2b+3c=6,求证:思路5能否构造一个关系式,将已知条件和结222a+2b+3c≥6.论有机地统一起来呢?22思路1在已知和求证的两个关系式中,如果我证法5设f(x)=(x-a)+2(x-b)+3(x2们将所有的字母去掉,只保留各项的系数,我们会发-c),则f(x)≥0,且222现等号仍然成立,可见当a=b=c=1时不等式取等f(x)=6x-2(a+2b+3c)x+(a+2b+2号,由此可得如下证法.3c).22222222证法1a+2b+3c=a+1+2(b+1)+由Δ≤0得4(a+2b+3c)-24(a+2b+222223(c+1
3、)-6≥2a+4b+6c-6=2(a+2b+3c)-63c)≤0,∴a+2b+3c≥6.=6,当a=b=c=1时取等号.思路6相对来说,方程比不等式总是要简单一思路2待证的不等式左右次数不同,若根据已点,能否运用方程思想来解决这个问题呢?2222知条件将它转化为左右同次式,将会出现怎样的情证法6设a+2b+3c=t,则(6-2b-3c)22况呢?+2b+3c=t,2222222证法2a+2b+3c≥6Z6(a+2b+即6b+12c+12bc-24b-36c+36-t=0.22222223c)≥(a+2b+3c)Z5a+8b+9c≥4ab+∴6b+12(c-2
4、)b+12c-36c+36-t=0.2226ac+12bcZ2(a-b)+3(a-c)+6(b-c)≥∵这个关于b的方程有实根,220.这是显然成立的,从而原不等式成立.∴Δ=144(c-2)-24(12c-36c+36-t)思路3抓住取等号时a,b,c的值进行换元.≥0.22证法3设a=1+t1,b=1+t2,c=1+t3,则∴6(c-2)≥12c-36c+36-t.22由a+2b+3c=6,可得t1+2t2+3t3=0.∴t≥6c-12c+12=6(c-1)+6≥6.22222思路7能否运用三角函数的性质来求a2+∴a+2b+3c=(1+t1)+2(1+
5、t2)+3(122222b2+3c2的取值范围呢?+t3)=6+2(t1+2t2+3t3)+t1+2t2+3t3=6+222t222证法7设a+2b=t-3c=s,a=scosα,1+2t2+3t3≥6.思路4题中涉及的变量太多,若在消元的基础2b=ssinα代入a+2b=6-3c得scosα+上,再以剩下变量中的一个为主,这样是否会简单一2ssinα=6-3c,即3ssin(α+β)=6-3c.222些呢?∴(6-3c)=3ssin(α+β)≤3s=3(t-3c).22222证法4a+2b+3c=(6-2b-3c)+2b+22223c=6b+12c+12b
6、c-24b-36c+36=6b+收稿日期:2001-02-10作者简介:胡汉明(1966—),男,湖北蕲春人,浙江温岭市文昌中学一级教师,学士.2001年第9期 数学通讯23常见非等价变形的成因分析唐宗保(武汉市四十九中学,湖北 武汉 430080)中图分类号:O122-42 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)09-0023-02 数学解题时离不开转化、变形,而这些变x为实数,而题目的要求是在复数集上解方形应该等价转换.但是,学生在解题中容易出程,x可以为虚数,正确的解法为:现非等价变形,本文分析几
7、种常见的非等价(x-2)(x-1+i)=0,∴x=2或x=变形的成因.1-i.1 因概念模糊而造成非等价变形2 忽视公式、法则的运用条件而造成非等价2例1解方程x+(3-i)x+2-2i=0.变形2错解 原方程可变形为:(x-3x+例2若lim(3an+4bn)=8,lim(6an-n→∞n→∞2)+(x-2)i=0,由复数相等的条件知:bn)=1.求lim(3an+bn)的值.n→∞2x-3x+2=0, 解得x=2.错解 ∵limn→∞(3an+4bn)=3limn→∞an+x-2=0,4limbn=8,∴原方程的解为x=2.n→∞剖析 本解法看似无错,实
8、际上默认了222∴3t≥18c-36c+36.+(3
