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1、科技信息○教学研究○SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION2007年第31期“不等式证明”方法初探黄晓华(郑州幼儿师范学校河南郑州450000)不等式证明是我们学习高中数学第二册上不等式一章必须面对原不等式得证。的重要内容,与很多知识点都有着密切的联系,因此,它也是本章的难五、转化为向量证明不等式点之一。不等式证明除了课本介绍的比较法(比差,比商)、综合法、分若能依据某些不等式的条件和结论,将其转化为向量形式,利用析法和均值不等式法外,为了便于同学们梳理不等式的证明方法,针向量的数量积及不等式关系&m·n’≤&m·n’,往往能避免复杂的凑配
2、对具体问题具体分析,达到有的放矢,现归纳整理如下。技巧,使证明过程直观而又容易理解。一、放缩法证明不等式a2b2c2a+b+c利用放缩法证明不等式,通过观察不等式的构成,把不等式的一例5.已知a、b、c都是正实数,求证:++≥.b+cc+aa+b2边放大或缩小,利用不等式的性质证明所要证明的不等式,使证明过程清晰自然。证明:设&m={a,b,c},’n={%b+c,%c+a,%b+c%c+a%a+baba+b例1.已知:a>0,b>0.求证:+>.%a+b}1+a1+b1+a+b,2aabba2b2c2(&m·n’)(a+b+c)2a+b+c证明:∵a>0,b
3、>0,∴>,>,则++=&m2≥==.原不1+a1+a+b1+b1+a+bb+cc+aa+b22(a+b+c)2ababa+baba+b’n∴+>+=,∴+>.1+a1+b1+a+b1+a+b1+a+b1+a1+b1+a+b等式得证。二、三角函数代换证明不等式六、运用二次齐次式证明不等式三角函数是一类重要的函数,利用三角函数证明不等式,使一些二次齐次式,即如关于x、y的式子:ax2+bxy+cy2(a、b、c为常数)就看似复杂,甚至无从下手的不等式证明,变得简单明了。是数学解题过程中的一颗“奇葩”,它是一种较为常见而又具有强大威例2.已知a,b,c,d都是实数
4、,a2+b2=r2,c2+d2=R2(r>0,R>0).力的一种重要方法。特别是若能合理构造并巧妙应用二次齐次式解r2+R2题,有时会给我们带来很大的方便和快乐,既是简化解题过程的灵丹求证:ac+bd≤.2妙药,又是培养学生思维灵活性的钥匙。证明:设a=rcosθ,b=rsinθ,c=Rcosα,d=Rsinα(θ,α∈[0,2π))例6.已知α、β均为正实数,且α+β<π.求证:对于任意实数x、y、z则ac+bd=rRcosθcosα+rRsinθsinα=rRcos(θ-α)≤rR≤都有下面不等式成立:22r+Rx2sin2α+y2sin2β+z2sin2
5、(α+β)≥xy[sin2α+sin2β-sin2(α+β)]+yz[sin2β+,2sin2(α+β)-sin2α]+zx[sin2(α+β)+sin2α-sin2β].r2+R2∴ac+bd≤.证明:原不等式等价于2(x-y)2sin2β+(x-y)(x-z)[sin2α-sin2β-sin2(α+β)]+(x-z)2sin2(α+β)≥0(*)三、构造函数法证明不等式当x=y=z时,(*)式显然成立。函数是贯穿中学数学的一条主线,一些本身无明显的函数关系的x-y问题,通过类比、联想、转化,合理的构造函数模型,从而使问题迎刃而不妨设当x≠z时,令t=,且存
6、在γ>0,满足α+β+γ=π,于是x-z解。本题利用分析法证明过程较复杂,利用构造函数法证明,过程简α,β,γ可作为某一个△ABC的三个内角,记其外接圆的直径为2R,三洁,一目了然。边长分别为a、b、c,则证明(*)式即等价于证明a在△ABC中,b2t2+(a2-b2-c2)t+c2≥0(**)例3.已知△ABC的三边长是a,b,c,且m为正数,求证:+对任意实数t恒成立.a+m事实上,(**)式的判别式b>c.(高中课本,人教版第二册上,习题6﹒3第9题).△=(a2-b2-c2)2-4b2c2=-(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)<
7、0.b+mc+m故(**)式对任意实数t恒成立得证.从而原不等式得证。xx证明:设f(x)=x+m(x∈(0,+∞)),显然函数f(x)=x+m在x∈(0,+此外,本题还可以推广为:∞)是增函数,已知α、β均为正实数,且α+β<π,k∈[0,2]。求证:对于任意实数x、∵a,b,c是△ABC的三边长,y、z都有下面不等式成立:x2sinkα+y2sinkβ+z2sink(α+β)≥xy[sinkα+sinkβ-sink(α+β)]+yz[sinkβ+∴a+b>c,∴f(a+b)>f(c),sink(α+β)-sinkα]+zx[sink(α+β)+sinkα-
8、sinkβ].a+bcabab其证明留
