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1、动力学第11章动量定理和动量矩定理7/29/20211§11–5动量矩§11–6矩心为定点的动量矩定理§11–7刚体定轴转动微分方程§11–8矩心为质心的动量矩定理·刚体平面运动微分方程习题课第十一章（2）动量矩定理重点·难点2质点质点系动量定理：动量的改变—外力（外力系主矢）若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零，质心无运动，可是质点系却受外力的作用。动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。质心运动定理：质心的运动—外力（外
2、力系主矢）引言下面看几个引例：3直升飞机如果没有尾翼将发生什么现象动力学4动力学5质点对点O的动量矩与对轴z的动量矩之间的关系：正负号规定与力对轴矩的规定相同对着轴看：顺时针为负,逆时针为正kg·ｍ2/s。动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。一．质点的动量矩质点对点O的动量矩：矢量质点对轴z的动量矩：代数量§11-5动量矩[重点]6动力学三.刚体动量矩1．平动刚体平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。二．质点系的动量矩质点系对点O动量矩：质点系对轴z动量矩：[难点
3、]7动力学3．平面运动刚体2．定轴转动刚体定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。8动力学设如图二坐标系，其中Oyo,Oxo,Cx,Cy在同一平面内。推导：miCzyxOzCyCxC9动力学解：[例1]滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1滑轮B：m2，R2，J2；物体C：m3求系统对O轴的动量矩。10§11-6矩心为定点的动量矩定理一．质点的动量矩定理两边
4、叉乘矢径,有左边可写成质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。故：[重点]11将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。动力学称为质点的动量矩守恒。若则常矢量质点动量矩定理的应用：在质点受有心力的作用时。质点绕某心（轴）转动的问题。12运动分析：。动力学由动量矩定理即微幅摆动时， 并令 ，
5、则解微分方程,并代入初始条件 则运动方程，摆动周期解：将小球视为质点。受力分析；如图示→[例2]单摆 已知m，l，t=0时=0，从静止开始释放。求单摆的运动规律。13质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。——质点系对固定点的动量矩定理动力学二．质点系的动量矩定理对质点系，有对质点mi：左边交换求和与导数运算的顺序，而且14上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同
6、一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。质点系的动量矩守恒当 时， 常矢量。当 时， 常量。动力学定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得:15[例3]已知： 小车不计摩擦,求小车的加速度解:取整个系统为研究对象，受力分析如图示。运动分析：v=ｒ动力学16求：剪断绳后,角时的.[例4]：两小球质量皆为,初始角速度动力学解:取A、B小球为研究对象，运动分析：A、B二小球均作圆周运动。受力分析：作用于二小球
7、的外力对转轴的矩都为零。17时,时,由,得依动量矩守恒定理有：动力学A、B二小球对其转轴的动量矩守恒。18[例5]水轮机转轮,进口水速度,出口水速度,它们与切线夹角分别为,,总体积流量。求水流对转轮的转动力矩。动力学解：分析某时刻，取转轮某两叶片间水流为整体，如图斜线部分，经△t时间,水由ABCD流到abcd，又因水流定常，故abCD内的动量矩不变。19设叶片数为,水密度为,有经△t时间,水流动量矩改变为：动力学20解:取整个系统为研究对象，受力分析如图示。运动分析：v=ｒ动力学由动量矩定理：[例6]已知:
8、21主动力:约束力:对于一个定轴转动刚体如图所示：§11-7刚体定轴转动微分方程代入质点系动量矩定理，有即:22特殊情况：若,则 恒量，刚体作匀速转动或保持静止。动力学若 常量，则=常量，刚体作匀变速转动。将 与 比较，刚体的转动惯量 是刚体转动惯性的度量。解决两类问题：已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出
