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1、2012年高考模拟试卷——压轴题（2012,1丰台文）20.函数的定义域为R，数列满足（且）．（Ⅰ）若数列是等差数列，，且(k为非零常数，且)，求k的值；（Ⅱ）若，，，数列的前n项和为，对于给定的正整数，如果的值与n无关，求k的值．（2012,1西城文）20.已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“衍生数列”.（Ⅰ）写出数列的“衍生数列”；（Ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：；（Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数列，，，…的首项取出，构成数列.证明：是等差数列.（2012,1石景山文）20.对于给定数列，如果存在实常数使得对于任意都成立，我们称数
2、列是“类数列”．（Ⅰ）若，，，数列、是否为“类数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列是“类数列”，则数列也是“类数列”；（Ⅲ）若数列满足，，为常数．求数列前项的和．并判断是否为“类数列”，说明理由．（2012,1朝阳文）20.数列，（）由下列条件确定：①；②当时，与满足：当时，,；当时，，．5/5（Ⅰ）若，，求，，，并猜想数列的通项公式（不需要证明）；（Ⅱ）在数列中，若（，且），试用表示，；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列满足：，，（其中为给定的不小于2的整数），求证：当时，恒有．（2012,1东城文）20.已知是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意
3、，①方程有实数根；②函数的导数满足．（Ⅰ）判断函数是否是集合中的元素，并说明理由；（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性质：若的定义域为，则对于任意，都存在，使得等式成立．试用这一性质证明：方程有且只有一个实数根．（2012,1东城理）20.已知是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意，①方程有实数根；②函数的导数满足．（Ⅰ）判断函数是否是集合中的元素，并说明理由；（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性质：若的定义域为，则对于任意，都存在，使得等式成立．试用这一性质证明：方程有且只有一个实数根；（Ⅲ）对任意，且，求证：对于定义域中任意的，，，当，且时，.（2012,4海淀文）20.对于集合M，定义函
4、数，对于两个集合M，N，定义集合．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．（Ⅰ）写出和的值，并用列举法写出集合；（Ⅱ）用表示有限集合所含元素的个数．（ⅰ）求证：当取得最小值时，；（ⅱ）求的最小值．5/5（2012,4西城文）20.对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作．继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．（Ⅰ）试问经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）设，．若，且的各项之和为．（ⅰ）求，；（ⅱ）若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最
5、小，求的最小值，并说明理由．（2012,4西城理）20.对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，…，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．（Ⅰ）试问和经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件；（Ⅲ）证明：一定能经过有限次“变换”后结束．（2012,4东城文）20.对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．（Ⅰ）设函数，求集合和；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）设函数，且
6、，求证：．5/5（2012,4东城理）20.若对于正整数,表示的最大奇数因数，例如，．设．（Ⅰ）求,的值；（Ⅱ）求，，的值；（Ⅲ）求数列的通项公式．（2012,4丰台文）20.设数列的前项和为，且．数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：数列为等差数列，并求的通项公式；（Ⅲ）设数列的前项和为，是否存在常数，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．（2012,4丰台理）20.已知函数，为函数的导函数．（Ⅰ）若数列满足，且，求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，．（ⅰ）是否存在实数b，使得数列是等差数列？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由；（ⅱ）若，求
7、证：．（2012,4朝阳文）20.已知各项均为非负整数的数列，满足，，．若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为．设，．（Ⅰ）若数列，试写出数列；若数列，试写出数列；（Ⅱ）证明存在数列，经过有限次变换，可将数列变为数列；（Ⅲ）若经过有限次变换，可变为数列．设，，求证，其中表示不超过的最大整数．（2012,4石景山文）20.若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列5/5中，，点()在函数的图象上，其中为正整数．（Ⅰ）证明数列是“平方递推
