微分方程建模举例—96年竞赛题 捕鱼问题.ppt

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1、最优捕鱼策略（1996年全国大学生数学建模竞赛A题）为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼（鳀鱼）的最有捕捞策略：鳀鱼：体长三寸到四寸，侧扁，腹部呈圆柱形，眼、口大，无侧线，生活在海中。假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，…，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年），这种鱼为季节性集中产卵繁殖，

2、平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105(个)，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵量n之比）为1.22×1011/(1.22×1011+n）。渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群的条数成正比，比例系数不妨称为捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞

3、强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。1）建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总量）。2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为122，29.7，10.1，3.29（×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。一问题的分析1、给出了各年龄组鱼群的转化规律；2、给出了它们的相对自然

4、死亡率；1龄鱼2龄鱼3龄鱼4龄鱼收获1，2，3季度捕获产卵第4季度自然死亡每条3龄鱼产卵量为(个)3、给出了鱼产卵的时间分布；只有3、4龄鱼在每年的9、10、11、12月份集中产卵。并给出3、4龄鱼产卵的数量关系：在一个季节里，每条4龄鱼产卵量为(个)成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）4、并固定每年投入的捕捞能力（如渔船数，下网次数）及3、4龄鱼捕捞强度系数的比值。捕捞强度系数k：单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数成正比。目标：要求选择一定的捕捞强度系数，使得各年龄组鱼量在各年开始捕捞前条数不变（保证可

5、持续捕获的要求），并在此条件下，得到以重量计的最大捕获量。二主要变量说明：表示（t+1）年i龄鱼的数量，：表示4龄鱼捕捞强度系数，则3龄鱼捕捞强度系数为：3,4龄鱼的产卵总数i=1,2,3,4;t=0,1,2,3,4;：表示所捕捞鱼的重量主要变量：各龄鱼的数量。三模型建立建模关键：建立各相关量与捕捞强度系数k的关系，控制k到最佳数值，在满足可持续捕获的条件下达到最大收获量。1鱼数量变化的一般模型（1）各龄鱼的数量须经一段时间，才能达到稳定状态，即到平衡年时，年末和年初的各龄鱼的数量基本保持不变。自然死亡

6、情况下（2）有捕捞情况下2各龄鱼数量变化的具体模型设年初各龄鱼数量分别为8月末，经捕捞及自然死亡后的各龄鱼群数量为12月末，各龄鱼群数量为卵的总数量为n，t按年算，则1~8月份，捕捞季节。经捕捞及自然死亡，8月末9~12月份，产卵季节。期间无捕捞，则12月末再设分别为3、4龄鱼在产卵期平均数量，n为3、4龄鱼产卵数量之和，t按月计产卵期产卵总量为a为平均每条4龄鱼产卵个数，个。设为第2年各龄鱼的初值数量，则有1）1龄鱼由卵孵化并成活下来的那部分卵子转化而成，即4）4龄鱼即上一年末3龄鱼2）2龄鱼由上一年

7、1龄鱼转化而成，即3）3龄鱼即上一年末2龄鱼3鱼群持续变化的递推关系4捕获量的数学模型对于一种可捕获鱼而言，设一年内捕获量为P，初值为s(0)，则P可表示为1~8月份，捕捞3龄鱼和4龄鱼的数量分别为又设每条3龄鱼和4龄鱼的数量分别为m3,和m4克则每年捕获鳀鱼的总重量克优化模型四模型求解优化模型取一个k值，就可得到一个G，现须选取恰当的k值，使年收获量G最大。具体算法如下：[1]选定k值；[2]根据递推关系分别算出[3]再把作为第2年捕获前的初值重复[2]，根据递推关系算出下一年的[4]再重复[2]、[

8、3]当计算到年初与年末的各龄鱼的数量一致时，即鱼群稳定为止，根据算出年捕获量；[5]另定k值，重复[1]~[4]；[6]根据年捕获量最大原则，最后确定最佳的k值。四计算结果与分析k总捕获量G(×1012g)k总捕获量G(×1012g)0.10.021650.50.090762.00.23745.00.324810.00.367412.20.3761140.379514.950.3844615.500.3849615.60.3850215.7