高中数学第二章推理与证明本章整合课件2.pptx

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1、本章整合第二章推理与证明专题1专题2专题3专题1合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳,然后提出猜想的推理,统称为合情推理.合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.归纳推理的思维过程大致如下:实验,观察概括,推广猜测一般性结论类比推理的思维过程大致如下:观察,比较联想,类推猜测新的结论专题1专题2专题3应用蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图,其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示

2、第n个图的蜂巢总数.(1)试给出f(4),f(5)的值,并求f(n)的表达式(不要求证明);专题1专题2专题3提示:通过f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)发现规律,求得f(n)的表达式,借助放缩法、裂项求和法证明第(2)问.(1)解:f(4)=37,f(5)=61.由于f(2)-f(1)=7-1=6,f(3)-f(2)=19-7=2×6,f(4)-f(3)=37-19=3×6,f(5)-f(4)=61-37=4×6,……因此,当n≥2时,有f(n)-f(n-1)=6(n-1),所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(

3、n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)=6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3n2-3n+1.又f(1)=1=3×12-3×1+1,所以f(n)=3n2-3n+1.专题1专题2专题3专题1专题2专题3专题2三段论推理三段论推理是演绎推理的主要形式,演绎推理具有如下特点:(1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结论完全蕴涵于前提之中.(2)演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证特点

4、,有助于科学的理论化和系统化.专题1专题2专题3所以MN∥PQ.又因为MN⊄平面ADC,PQ⊂平面ADC,所以MN∥平面ACD.应用1已知A,B,C,D四点不共面,M,N分别是△ABD和△BCD的重心.求证:MN∥平面ACD.提示:根据三角形的重心的性质可证得MN与△ACD的一条中位线平行,从而得到MN∥平面ACD.证明:如图所示,连接BM,BN,并延长分别交AD,DC于P,Q两点,连接PQ.因为M,N分别是△ABD和△BCD的重心,所以P,Q分别是AD,DC的中点.专题1专题2专题3应用2用三段论证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,

5、1]上是增函数.提示:证明本题所依据的大前提是增函数的定义,即函数y=f(x)满足:在给定区间内任取自变量的两个值x1,x2,若x10.因为x1,x2∈(-∞,1],x1≠x2,所以x2+x1-2<0.因此f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

6、增函数.专题1专题2专题3专题3直接证明与间接证明在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用.根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P.若由P可以推出Q成立,就可以证明结论成立.反证法不是去直接证明结论,而是先否定结论,在否定结论的基础上,运用演绎推理推导出矛盾,从而肯定结论的真实性.专题1专题2专题3应用1设a,b,c为三角形的三边,求证:(a+b+c)2<4(ab+bc+ac).提示:此题可先通过分析法寻求解题思路,然后用综合法证明.证明:证法一(分析法):由题意,要证明(a+

7、b+c)2<4(ab+bc+ac),即要证a2+b2+c2-2ab-2ac-2bc<0,即证(a2-ab-ac)+(b2-bc-ab)+(c2-ca-bc)<0,即要证a(a-b-c)+b(b-c-a)+c(c-a-b)<0.①因为a,b,c是三角形的三边,所以a>0,b>0,c>0,且a0,b>0,

8、c>0,且a