拟正规全纯函数族的正规性.pdf

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1、倒㈤程黝础数学物理学报2013，33A(4)：655—660http：／／actams．wipm．ac．cn拟正规全纯函数族的正规性术黄小军(重庆大学数学与统计学院重庆400044)王子鹏(复旦大学数学科学学院上海200433)摘要：研究了拟正规全纯函数族的正规性，得到了相应的证规定则，推广了以前学者的结果关键词：正规族；拟正规族；环绕数；同伦．MR(2000)主题分类：32A10中图分类号：0174文献标识码：A文章编号：1003—3998(2013)04—655—061引言假设户是定义在平面区域QcC上的一族全纯函数．称厂为拟正规族㈠如果任何{，n}c厂存在

2、子列{．厂)nk}和集合E使得{厶。)在Q—E的每个紧子集上按球面距离一致收敛．称户在zo∈Q处拟正规，如果存在zo的领域UcQ使得厂在区域U上是拟正规族．可以直接验证，厂在区域Q上拟正规当且仅当厂在任意Z∈Q处拟正规．近些年来，关于拟正规族理论的研究取得了丰硕的结果[3,7-8]．另一方面，基于著名的Zalcman引理[12]，正规族的研究获得了长足的进步，得到了许多突破性的进展[13]．自然而有趣的事情是研究拟正规族和正规族之间的联系，本文我们将探讨这一课题，我们将从如下揭示拟全纯函数族正规性的基本结果开始．定理A【4】设厂是定义在平面区域DcC上的一族全纯

3、函数，a是有限复数．如果厂是拟正规族且vf∈厂，f≠a，则厂在区域D内正规．自然要问上面的结果能否推广到更加广泛的情形?本文给出了肯定的回答．但是与经典的全纯例外函数不同，我们得到了涉及连续例外函数的情形．定理1假设厂是区域Q上的全纯拟正规族，L(Z)∈c(a)，i．e．Q上的连续函数．对于任何f∈厂如果f(z)一n(z)在Q内无零点，则厂在区域Q内正规．考察定义在区域DcC上的全纯函数．厂和平面上的Jordan区域y，称．厂在y上有一个“岛”(Island)，如果存在．厂_1(y)的连通分支u使其闭包包含在D中．于是，限制在U上是proper映射．如果，l【，

4、u—y是共性映射则称，在y上有一个单岛(SimpleIsland)．Ahlfors著名的五岛定理表述为收稿日期：2012—01—21；修订日期：2013—05—08E-mail：hxj@cqu．edu．crl+基金项目：国家自然学科基金(10701084)、浙江省自然学科基金(Y6090641)、中央高校教师科研基金FRFCU(CDJZRl0100013)和中央高校研究生创新基金FRFCU(CDJXSl0100028)资助656数学物理学报V01．33A定理B[2]假设Dj(J=1，⋯，5)是平面上闭包互补相加的Jordan区域．厂是区域Q山的全纯函数．如果任何

5、f∈厂，f关于区域Dj在Q内没有单岛J=1，⋯，5，则户在区域Q上正规．与五岛定理相关，我们得到了定理2假设区域QcC上的全纯函数族是拟正规族．考察Jordan区域D，如果任何．厂∈厂，t厂关于D在Q没有岛，则厂在区域Q上正规．2基本结果为了证明主要定理，我们需要引入一下基本概念和一些基本事实．复平面c上的曲线7是指连续映射7：I—c其中I=[0，1]．进一步称7是闭曲线或圈，如果7(0)=1(1)．曲线u，u：I—C称为同伦记为札一u，如果存在连续映射H：I×I—c使得(i)H(t，o)=u(t)Vt∈I，(ii)H(t，1)=v(t)Vt∈I，其中连续映射日

6、称为形变．特别的，对于闭曲线“，u，称仳形变到u，其中H(O，8)=H(1，s)Vs∈I．如果曲线同伦与复平面c中的单点集，称该曲线是。论．下面定义闭曲线7外一点a的环绕数，记为Wind(一／，o)，粗略的讲，环绕数刻画了a绕7的圈数．其精确定义可参阅文献[6]，本文考虑一点关于可微闭曲线的环绕数，定义为嘉上兰，称有限闭曲线的和为一条链，其中aj是正整数，％是互不相同的曲线．链7外一点。岩7的环绕数定义为wind(7，a)=∑aiWind("／i，n)．开集中的曲线7CQ同调与0，如果任意agQ，都有i=1Wind(，y，a)=0．引理1【6]闭曲线札，V：I—

7、c是C—fo}中的同伦闭曲线，则Wind(u，a)=Wind(v，o)．注释1引理的证明请参阅文献『6，p192，定理8．6]．下面的引理常被称为“幅角原理”．引理2[1]如果f(z)是区域Q上的亚纯函数其零点是aj极点是6k，计其重数则熹上锱dz其中7是同调与0且任何零点和极点都不在其上的链．注释2引理的证明请参阅文献『1，p152，定理18]．下面的引理是拟正规族的直接推论，为了文章的完整性，我们给出完整的证明．引理3假设9是区域B(Q，r)={zlZ—Ozl

8、{蜘)C9和复数点列‰C