关于高中立体几何公理化问题的思考--基于与《几何原本》的比较-论文.pdf

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1、关于高中立体几何公理化问题的思考——基于与《几何原本》的比较徐兴国(扬州市职业大学师范学院，2256OO)《几何原本》是数学史上最为璀璨耀眼的有且只有一个平面。明珠之一，其公理化思想和严密的逻辑推理公理4平行于同一条直线的两条直线在2000多年的历史长河中魅力不减。作为互相平行。对比，我们讨论关于高中立体几何内容公理第1个问题：教材中的公理4可不可以化体系的几个问题。作为定理?笔者参阅了新中国成立后各个时期、多首先，由公理2可以得到以下定理：个版本的高中数学教材中的立体几何内容，定理l若三个平面两两相交，且有三条其中有1957年人教版的《立体几

2、何》分册，交线，则这三条交线要么交于一点，要么互相1981年人教版的《立体几何(全一册)》分册，平行。以及现行人教版、北师大版、苏教版、沪教版其符号表述如下：的立体几何部分，发现尽管教学的内容作了已知：平面a、、7，dn卢一Z1，卢n)，一Z2，an取舍，次序作了调整，但一个基本的、共同的y—3，Z1、z2、Z3两两不重合。求证：Zl、Z2、Z3交特点没有任何变化，这就是所有立体几何内于一点或互相平行。容始终全部是由以下4个公理演绎推理出来其证明过程如下：的，也就是整个立体几何体系始终全部是建由Z1、Z2共面，则Z1、Z2相交或平行。若立在以下

3、4个公理的基础上的，而且这4个ZlnZ2一O，如图1，因为0∈Z1，Z1c口，O∈￡2，公理的表述方式也始终全部一样：Z2Cy，所以O∈aN)，，又因为aN7=l3，所以0公理1如果一条直线上的两点在一个∈Z3，即Z1、Z2、Z3交于一点。平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。公理3经过不在同一条直线上的三点，图l2014年第8期教育研究与评论·课堂观察若z1∥z2，如图2，假设z2与z3相交，由上面证明的结论，可得Z1、Z2、Z3交于一

4、点，这与z1∥z2矛盾，故z2与z3不相交，又由z2、z3共面，故z2∥z3。同理，1／／z3。12图4这说明公理4不是一个公理，而是一个定理。／2第2个问题：为什么教材中的公理可以图2作为定理?其次，我们尝试由定理1推出公理4。讨论这个问题要从两个方面谈起：一是公理4的符号表述如下：《几何原本》的公理化体系；二是高中数学教已知：z1∥z2，z1∥z3，z2，z3不重合。求证：材立体几何内容的公理化体系。把它们作一z2∥z3。个对比，就能够发现其中的缘由。其证明过程如下：前面，我们介绍了高中数学教材立体几若Z1、Z2、Z。共面，如图3，作直线Z

5、4分别何内容中的4个公理。接着，我们再看看《几交直线z1、z2、z。于点A、B、c，因为z／／z2，所何原本》中的公理。《几何原本》共13卷，第1以1一2，同理，可得1一3，所以2一卷到第1O卷记载的是关于平面几何的问题，第11卷到第13卷记载的是关于立体几何的3，所以2∥z3。问题。《几何原本》第1卷列有5个公理、5个公设(现在我们已经不区分公理、公设，都称之为公理)，作为全书的基础，具体内容如下(为了不产生混淆，这里将这些公理、公设称为“原本公理”、“原本公设”)：“原本公理”1等于同量的量彼此相等。图3“原本公理”2等量加等量，其和相等。

6、“原本公理”3等量减等量，其差相等。若z1、z2、z3不共面，如图4，由z1∥z2，设“原本公理”4彼此能重合的物体是全z1、z2确定的平面为a；由l1／／z3，设z1、z3确定等的。的平面为，则口N===Z。若l2与z。异面，在“原本公理”5整体大于部分。Z2上取一点A，设点A与直线Z。确定的平面“原本公设”1过两点能作且只能作一为y，则口n7／==：z3，设aNy，一z2，则点A也条直线。在z2上，故z2nz2=AO；由z1∥z3及定理1，“原本公设”2线段(有限直线)可以无可得z1∥z2，又因为1、z2、z2共面，z1／／z2，所限地延长

7、。以z2∥z2②；①与②矛盾，于是f2与z3共面，“原本公设”3以任一点为圆心，任意长设为y，则n’，===z3，any—z2。由z1／／z3(或为半径，可作一个圆。z∥z2)及定理1，得z2／／z。。“原本公设”4凡是直角都相等。教育研究与评论·课堂观察2014年第8期“原本公设”5同一平面内一条直线和的5个公设(有些公设转换了表达方式)，高另外两条直线相交，若在这一条直线同侧的中数学教材立体几何内容中的所谓“公理”就两个内角之和小于180。，则这两条直线经无可以被证明了，也就可以作为定理或推论了。限延长后在这一侧一定相交。第3个问题：能不能

8、给教材中的公理“瘦让人吃惊的是，高中数学教材立体几何瘦身”呢?内容中的4个公理，在《几何原本》中一个都读到这里，不难发现，在小学、初中内容没有。这是否