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1、第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数、极限与连续第一章二、两个常用的不等式三、函数一、邻域第一节函数四、初等函数首先回顾一下中学所学过的有关集合、数集、函数的概念。集合的概念集合具有某种特定性质的事物的总体.元素组成这个集合的事物称为该集合的元素.集合与元素的关系:由无限个元素组成的集合称为无限集.由有限个元素组成的集合称为有限集.集合举例年在福建地区出生的人.集合的概念集合举例年在福建地区出生的人.方程的根.全体奇数.抛物线上的所有点.集合表示方法例举法:即在中按任意顺序、不遗漏、不重复地列出集合的所
2、有元素.例如若仅由有限个元素组成,集合的概念例举法:即在中按任意顺序、不遗漏、不重复地列出集合的所有元素.例如若仅由有限个元素组成,可记为由方程的根构成的集合,可记为描述法:所具有的特征由方程的根构成的集合,集合的概念描述法:所具有的特征由方程的根构成的集合,可记为全体奇数的集合,可记为集合之间的关系若则称是的子集,记为就称集合和相等,若且集合的概念就称集合和相等,若且记为例如,记为则称集合是的真子集,若且空集不包含任何元素的集合,记为规定:例如,空集为任何集合的子集.集合的概念规定:空集为任何集合的子集.数集分类:自然数集实
3、数集整数集有理数集数集间的关系:注:如无特别说明,本课程中提到的数都是实数.数集元素都是数的集合称为数集.集合的运算设是两个集合,定义与的并集(简称并)与的交集(简称交)与的差集(简称差)当所研究的问题限定在一个大的集合中进行,所研究的其他集合都是的子集.定义的余集与AxxÎ{BA=U且AxxÎ{BA=IBA=-且AxxÎ{集合的运算当所研究的问题限定在一个大的集合中进行,所研究的其他集合都是的子集.定义的余集或补集例如,在实数集中,集合的余集就是或集合的基本运算规律设为任意三个集合,则有下列法则成立:交换律结合律分配律对偶律
4、证且且集合的基本运算规律证且且注以上证明中,符号“”表示“等价”,另一个常用符号是“”,表示“推出”(或“蕴含”).两集合间的直积或笛卡尔乘积设是任意两个集合,任取组成一个有序对以这样的有序对的全体组成的记为集合称为集合与集合的直积,集合的基本运算规律设是任意两个集合,任取组成一个有序对以这样的有序对的全体组成的记为集合称为集合与集合的直积,且如即为面上全体点的集合,常记作区间定义介于某两个实数之间的全体实数称为区间,这两个实数叫做区间的端点.设且定义开区间闭区间半开区间无限区间特别地区间演示图区间无限区间特别地区间的长度两端
5、点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.在本书中，当不需要特别辨明区间是否包含端点、是有限还是无限时，常将其简称为“区间”，并常用I表示。一、邻域的概念定义设与是两个实数,且数集称为点的邻域.记为其中,叫做该邻域的半径.点叫做该邻域的中心,记为即点的去心的邻域,以为中心的任何开区间均是点的邻域,记为).(aU一、邻域的概念另外，今后还将用到以下的左、右邻域概念.开区间称为的右邻域,开区间称为的左邻域,二、两个重要的不等式三角不等式对于任意的实数和,都有平均值不等式对于任意个正数,恒有,当且仅当全部相等时,上式等号才成立。二、两
6、个重要的不等式伯努利不等式这几个不等式在极限存在的证明中经常用到，对于正整数和实数,恒有因此要牢牢记住。当且时,不等式严格成立.
