宿州市2015届高三第一次教学质量检测数学.doc

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1、宿州市2015届高三第一次教学质量检测数学（理科）参考答案一、选择题：每小题5分，满分50分．（1）C（2）D（3）B（4）D（5）A（6）C（7）A（8）B（9）B（10）A二、填空题：每小题5分，满分25分．(11)14(12)32(13)(14)(15)②③④⑤三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．(16)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）…………2分…………4分可知的最小正周期为且，从而有，故．…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以．因为，所以，…………8分又，

2、所以，得，…………10分所以，从而有，即的值域为．…………12分(17)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）一次摸奖从个球中任取两个，有种方法．其中两个球的颜色不同的取法有种，…………2分所以一次摸奖中奖的概率为．…………4分（Ⅱ）若，即，解得或（舍去）．由题知：记上号的红球有个．可能取值为0,1,2,3,4．…………6分，，，，．从而的分布列是：．…………12分(18)（本小题满分12分）综合法：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，，因为分别是、的中点，所以，又因为．所以，即四边形为平行四边形．所以，不在平面内，所以平面．

3、…………4分（Ⅱ）解：取的中点，即为所求点，连接，．因为，故，所以四点共面．平面与交点即为的四等分点，又因为，所以．…………8分（Ⅲ）解：连接，易证平面底面．平面与平面所成二面角即为平面与底面所成二面角．因为平面，故平面，过作，垂足为，连结，则，所以为平面与平面所成二面角的平面角．在直角三角形中，则，，，从而，所以，故．所以平面与底面所成二面角的大小为．…………12分向量法：如图，以为坐标原点，、、方向分别为轴、轴和轴的正方向建立空间直角坐标系．则，，，，，．（Ⅰ）证明：易知是平面的法向量，又因为，所以，又因为

4、不在平面内，所以平面．…………4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面，又在平面内，平面与平面的交线是，所以．设，，得，解得，所以．…………8分（Ⅲ）解：设平面的法向量．由取…………10分又知平面的法向量为所以即平面与底面所成二面角的大小为．…………12分(19)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由，得．由题意得，．解得．…………4分（Ⅱ）由，．（1）当时，．①若，当时，，所以在内单调递减．…………6分②若，当时，；当时，．所以在内单调递减，在内单调递增…………8分（2）当时，令，得，因为，解得，（）当时，；当时，．所以在内单

5、调递减，在内单调递增．综上所述：当，时，在单调递减；当，时，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递减，在内单调递增．…………13分(20)（本小题满分13分）(Ⅰ)解：由题知：，又因为的周长为，所以，解得．所以椭圆的方程为．…………4分（II）（1）证法一：由消去并整理得，又因为，即，得，解得，因此直线与椭圆只有一个交点．…………8分证法二：因为点在第一象限内，由．过点与椭圆相切的直线斜率．因此直线与椭圆相切，故直线与椭圆只有一个交点．…………8分（2）解：令得，即，令得，即．所以的中点为，．故以为直径的

6、圆方程为．…………10分又因为，上式化简得．令，得或．故为直径的圆恒过点和．…………13分(21)（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为，所以，当时，．所以，对一切，都有．…………3分因为，所以数列单调递减．…………6分（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）中可知．…………8分下面用数学归纳法证明①当时，显然成立．②假设（）时，命题成立，即成立那么当时，有所以当时，上述命题也成立综合①②可得对于任意，有．因此，．……