关于丢番图方程x3±32 768＝Dy2.pdf

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1、第21卷第5期哈尔滨工程大学学报VoI.21，N.52000年10月JournaIofHarbinEngineeringUniversity0ct.，2000文章编号：1006-7043（2000）05-0082-0332关于丢番图方程!132768="#张海燕（哈尔滨理工大学应用科学院，黑龙江哈尔滨150080）摘要：用初等方法研究了丢番图方程!32，求出了该方程的非平凡整数解，并给出了无非132768="#平凡整数解的充分性条件.!关键词：丢番图方程；非平凡整数解中图分类号：0156.7文献标识码

2、：A32OntheDiophantineEGuation!132768="#ZHANGHai-yan（CoIIegeofAppIiedScience，HarbinUniversityofScienceandTechnoIogy，Harbin150001，China）32Abstract：WestudiedtheDiophantineeguation!132768="#bytheeIementarymethod，andgavesev-eraInontriviaIintegersoIutionsandso

3、mesufficientconditionsonwhichthiseguationhasnotnontriviaIinte-gersoIution.Keywords：Diophantineeguation；nontriviaIsoIution关于丢番图方程得到以下结论：32!11="#（1）定理1设">2，"无平方因子，且不能被当">2，"无平方因子且不能被3或6$+1型3或6$+1型素数整除，则：［1］素数整除时，Liunggren证明了最多只有一组正1）当"!4$+1时，方程（2）只有（"，!，#

4、）［2］整数解.1981年柯召与孙琦进一步证明了方程=（142，110，98），（22，-10，38），（11，12，56），［3］（1）无非平凡整数解.1991年曹玉书给出了当（23，60，104），（239，207，193）五组解."含6$+1型素因子时，方程（1）无非平凡整数2）当"=4$+1时，方程（2）无8"!的非平解的一些充分性条件.近年来，笔者对丢番图方程凡整数解.32［4］!164="#证明（"）"为奇数.32［5］!1512="#1）若2I!，由文献［5］易知：（i）当"!4$+13

5、2［4］和!14096="#时，方程（2）有（11，12，56）和（23，60，104）两组解.进行了研究.（ii）当"=4$+1时，方程（2）无8"!的非平凡整本文研究丢番图方程数解.32!+32768="#（2）2）若2"!，则有式（2）知2"#，式（2）可以分32!-32768="#（2a）解为!收稿日期：2000-07-06；修订日期：2000-10-20基金项目：黑龙江省自然科学基金资助项目。作者简介：张海燕（1968-），女，黑龙江哈尔滨人，哈尔滨理工大学应用科学院讲师，硕士，主要研究方向

6、：初等数论.32第5期张海燕：关于丢番图方程x132768=Dy·83·222（x+32）（x-32x+32）=Dy综合（"）和（!）知，定理1成立.22易知（x+32，x-32x+32）=1或3.定理2设D>2，D无平方因子且不能被3如果素数pID，则由已知必有p!5（moc6）或6+1型素数整除，则22所以有p"x-32x+32.于是由式（2）知存在互1）当D#4+3时，方程（2a）只有（D，x，y）素的正奇数a与J，满足=（46，78，98）一组解.2x+32=Da2）当D=4+3时，方程（2a

7、）无8"x的非平222凡整数解.x-32x+32=Jy=aJ（3）证明：（"）D为奇数.21）若2Ix，由文献［5］易知：（i）当D#4+3x+32=3Dax2-32x+322=3J2时，式（2a）无非平凡整数解（.ii）当D=4+3时，y=3aJ（4）式（2a）无8"x的非平凡整数解.由式（4）得2）若2"x，由式（2a）知2"y（.2a）可分解为222（x-32）（x2+32x+322）=Dy2J-3（Da-16）=256上式左端16除余-2或6，而右端16除余0.所于是存在互素的正奇数a与J满足

8、2以式（4）不成立.x-32=Da222由式（3）得x+32x+32=J22J-（x-16）=768y=aJ（3a）2上式有下列4种可能x-32=3Da222J+（x-16）=2，384，6，128x+32x+32=3JJ-（x-16）=384，2，128，6y=3aJ（4a）2由（2，384）得：J=193，x=175，Da=-由式（4a）得222143.与D>2矛盾.J-（3Da+16）=256由（384，2）得，J=193，x=207，y=193，