王淑华固体物理答案第四章.ppt

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1、第四章金属自由电子论4.1限制在边长为L的正方形中的N个自由电子，电子的能量（1）求能量E到E+dE之间的状态数；（2）求此二维系统在绝对零度的费密能量。解：（1）由周期性边界条件得轴相邻两代表点的间距为沿。因而在波矢空间每个状态的代表点占有面积为。在面积元中含有的状态数为。每个波矢状态可容纳自旋相反的两个电子，则在面积元中容纳电子数为又所以E到E+dE之间的状态数（2）在E到E+dE内的电子数为dN在绝对零度时则4.2设金属中的电子可看成是在边长为L的方匣内运动的自由粒子，试分别采用驻波边界条件和周期性边界条件，求状态密度的表示式。解：电子在方匣中运动，设其势函

2、数可写为，则薛定谔方程(1)令(2)(3)代入(1)式可得(4)应用驻波边界条件：可得驻波解为式中波矢的各分量分别为(5)这里为任意正整数，因而也只取正值。由(5)式得知，间中一个状态代表点所占体积为代表金属体体积。由上式知道，空间中的状态密度等于8V。因为能量之间的状态数即是空间中半径在之间球壳体积的1/8内所包含的状态数，这样，如计入自旋，之间的状态数从(2)式知道，于是，状态密度为(6)另一方面，若应用周期性边界条件则从(3)(4)两式可得行波解波矢各分量分别为(7)取正负整数，电子的能量仍然表示为从(7)式知道，在空间中，每个状态代表点所占体积为因而空间中

3、的状态密度为V，计入自旋，之间的状态数为故状态密度(8)对比(6),(8)两式知道，利用驻波边界条件和周期性边界条件求出的状态密度表示式是一样的。4.3金属锂是体心立方晶格，晶格常数为a=3.5埃，试计算绝对零度时锂的电子气的费米能量(以电子伏特表示）。解：体心立方又所以4.4在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成若一个摩尔的钾有和德拜温度。个电子，试求钾的费米温度解：低温下，金属摩尔热容量为因所以可得4.5某晶体中电子的等能量曲面是椭球面求能量之间的状态数。解：因为能量为E的等能面的方程式可写为椭球的体积为乘上状态的密度（V为晶体体积）。得椭球内所含状态数为

4、之间的状态数为4.6已知一维金属晶体共含有N个电子，晶体的长度为L。设T=0K，试求(1)电子的能态密度；(2)晶体的费密能级；(3)晶体电子的平均能量。(1).解一维薛定谔方程(1)令(2)解：从(1)式解得利用周期性边界条件，得到…从上式可求得电子态在k空间的密度从(2)式又知道(3)可见能量E是波矢的偶函数，和对应同一能级，因而在能量区间内的电子态数(4)式中为电子的能态密度。即代入(4)式，成为由(3)式得于是得计及电子的自旋，则得到能态密度为(2).电子服从费密统计。式中的为0K时的费密能级，即T=0K时电子填充的最高能级，故应有当T=0K时，费密分布函

5、数因此(5)(3).按照定义，电子的平均能量(T=0K)利用(5)式化简，从上式即得4.7证明：式中，为费密球半径；V为金属体积。（2）金属中电子的平均能量（1）T=0K时，金属中自由电子的能量密度（1）处于k状态的自由电子能量为，k为电子波矢。由此得到，费密球内证明：当T=0K时，电子全部占据费密球内各态。空间中，状态密度等于，计入自旋，在波矢的球壳内的状态数为在，电子的总能量式中是费密球半径。于是(1)由此得到空间能量密度为在空间的分布非常密集，可以看作准连续，上式的求和可用积分代替，当V比较大时，波矢(2)因为费密球内电子的总数(2)把(2)式代入(1)式便

6、得电子的平均能量当然，上式可应用化简为习惯的表示式4.8对于单位面积的样品，二维电子气的状态密度为试求二维电子气的比热。设g(E)为单位体积样品的状态密度，当系统由0K加热直至温度T时，(1)式中的f(E)是费密分布函数。的积分可利用如下的积分公式求得：如，有解：它的总能量(1)式已经过部分积分，其中最后式中y(E)为能量E的某一函数。，从(1)式立即得到(2)因为在通常讨论的温度范围，随温度的变化甚微而可以忽略，于是从(2)式可得二维电子气的比热为令