一类常微分方程组正解的存在性.pdf

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1、第21卷第1期工程数学学报VOI.21NO.12004年02月JOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSFeb.2004!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!文章编号：1005-3085（2004）01-0070-05一类常微分方程组正解的存在性"12，3安世全，安玉坤（1-重庆邮电学院信息与计算教学部，重庆400065；2-西北师范大学数学与信息科学学院，兰州7300703-苏州大学数学系，苏州215006）摘要：

2、讨论了一类二、四阶耦合常微分方程组正解的存在性，利用不动点定理和度理论，在一定条件下得到了该方程组正解的两个存在性定理。关键词：方程组；正解；存在性；不动点；Leray-Schauder度分类号：AMS（2000）34C12中图分类号：O175.1文献标识码：A1引言本文研究如下由二阶和四阶常微分方程边值问题耦合的系统ìu""=（f1），in（0，1），ï-1"=g（u），in（0，1），（1）íïu（0）=u（1）=u"（0）=u"（1）=0，î（10）=（11）=0.其中f，g满足下列假定：H1）（f

3、t），g（t）：!#!连续；H2）（f0），g（0）$0且（ft），g（t）在［0，）上非减。对于单个方程，无论是二阶或四阶，还是高阶边值问题，无论是一维问题还是高维问题，都已经有大量文献研究其解或正解的存在性，唯一性和多重性。如见文［1，5，8~11，14］等。在文［14］中，作者利用Green函数和锥上的KrasnOseIskii不动点定理，在非线性项满足所谓次线性或超线性条件下证明了正解的存在性。文［8］研究2m阶LidstOne边值问题，利用锥上的Leggett-WiIIiams不动点定理得到，在

4、非线性项满足一定条件时该问题至少有三个正解。对于二阶一维或高维椭圆方程组的研究，也可以见到大量文献，如［3，4，6，7］等，文［15］讨论二阶方程组两点边值问题，利用锥上的一个不动点定理，得到该系统两个非负解的存在性。这可以看成是文［9］和文［1］对单个方程的工作对方程组的自然推广。文［7］研究更一般的椭圆系统，使用Green函数，在不同条件下得到了几个正解的存在性和唯一性定理。"收稿日期：2002-01-11.作者简介：安世全（1962年9月生），男，副教授，研究方向：非线性泛函分析及其应用.第1期安世

5、全，安玉坤：一类常微分方程组正解的存在性71本文讨论的二阶和四阶边值问题的耦合方程组（1），可以看成来自于文［13］中由Lazer和Mckenna提出的吊桥非线性振动模型2+ìm1ytt+ayxxxx+!1yt+"（y-z）=W（x），in（0，L）X!，ïï2+m2ztt-6zxx+!2zt-"（y-z）=h（x，t），in（0，L）X!，í（2）ïïy（0，t）=y（L，t）=yxx（0，t）=yx（xL，t）=0，t!，î（z0，t）=（zL，t）=0，t!，++的静态问题。当（1）中的非线性项为（

6、-"（U-1），"（U-1））时，文［2］中已经给出了非平凡解的存在性。本文对系统（1）的研究受到文［7］对二阶椭圆系统类似问题研究的启发，通过使用Green函数，利用Schaucer不动点定理和拓扑度理论，证明了两个正解存在性定理。本文的主要结果是：定理1如果f，g满足（H，H），并且满足：12H3）c>0，Iimt~（0（fcg（t））/t）=；H4）c>0，Iimt~+（（fcg（t））/t）=0；则（1）至少有一个正解。定理2设f，g满足（H）和（H），另外满足：H）在（-，0］上，g（t）是非增

7、的；125H6）c>0，Iimt~+（g（c（ft））/t）=0；H7）g（0）>0，且当t>0时（ft）>0。则（1）至少有一个正解。2准备设二阶两点边值问题-1"=0，i（n0，1），{（3）（10）=（11）=0的Green函数为K：［0，1］X［0，1］~!，则1（S1-t），0sSstK（1S，t）={（4）（t1-S），tsSs1那么四阶边值问题U""=0，i（n0，1），{（5）U（0）=U（1）=U"（0）=U"（1）=0的Green函数K：［0，1］X［0，1］~!，为：21K（2S，t

8、）=K（1S，r）K（1r，t）cr（6）01引理（DaImass［O5］）设（1t）C［0，1］，w（ix）=K（ix，t）（1t）ct，i=1，2，则02i1）wC［0，1］，i=1，2；2）如果10且1不恒为0，则iw（ix）cii（x），i=1，2x［0，1］。其中ci>0是常数，而i（x）是距离函数i（x）=mi（nx，1-x），x［0，1］1记#（ix）=K（ix，t）ct，Ii=#（ix）=max0sxs1I#（