一类常微分方程组正解的存在性.pdf

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1、第21卷第1期工程数学学报VOI.21NO.12004年02月JOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSFeb.2004!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!文章编号:1005-3085(2004)01-0070-05一类常微分方程组正解的存在性"12,3安世全,安玉坤(1-重庆邮电学院信息与计算教学部,重庆400065;2-西北师范大学数学与信息科学学院,兰州7300703-苏州大学数学系,苏州215006)摘要:

2、讨论了一类二、四阶耦合常微分方程组正解的存在性,利用不动点定理和度理论,在一定条件下得到了该方程组正解的两个存在性定理。关键词:方程组;正解;存在性;不动点;Leray-Schauder度分类号:AMS(2000)34C12中图分类号:O175.1文献标识码:A1引言本文研究如下由二阶和四阶常微分方程边值问题耦合的系统ìu""=(f1),in(0,1),ï-1"=g(u),in(0,1),(1)íïu(0)=u(1)=u"(0)=u"(1)=0,î(10)=(11)=0.其中f,g满足下列假定:H1)(f

3、t),g(t):!#!连续;H2)(f0),g(0)$0且(ft),g(t)在[0,)上非减。对于单个方程,无论是二阶或四阶,还是高阶边值问题,无论是一维问题还是高维问题,都已经有大量文献研究其解或正解的存在性,唯一性和多重性。如见文[1,5,8~11,14]等。在文[14]中,作者利用Green函数和锥上的KrasnOseIskii不动点定理,在非线性项满足所谓次线性或超线性条件下证明了正解的存在性。文[8]研究2m阶LidstOne边值问题,利用锥上的Leggett-WiIIiams不动点定理得到,在

4、非线性项满足一定条件时该问题至少有三个正解。对于二阶一维或高维椭圆方程组的研究,也可以见到大量文献,如[3,4,6,7]等,文[15]讨论二阶方程组两点边值问题,利用锥上的一个不动点定理,得到该系统两个非负解的存在性。这可以看成是文[9]和文[1]对单个方程的工作对方程组的自然推广。文[7]研究更一般的椭圆系统,使用Green函数,在不同条件下得到了几个正解的存在性和唯一性定理。"收稿日期:2002-01-11.作者简介:安世全(1962年9月生),男,副教授,研究方向:非线性泛函分析及其应用.第1期安世

5、全,安玉坤:一类常微分方程组正解的存在性71本文讨论的二阶和四阶边值问题的耦合方程组(1),可以看成来自于文[13]中由Lazer和Mckenna提出的吊桥非线性振动模型2+ìm1ytt+ayxxxx+!1yt+"(y-z)=W(x),in(0,L)X!,ïï2+m2ztt-6zxx+!2zt-"(y-z)=h(x,t),in(0,L)X!,í(2)ïïy(0,t)=y(L,t)=yxx(0,t)=yx(xL,t)=0,t!,î(z0,t)=(zL,t)=0,t!,++的静态问题。当(1)中的非线性项为(

6、-"(U-1),"(U-1))时,文[2]中已经给出了非平凡解的存在性。本文对系统(1)的研究受到文[7]对二阶椭圆系统类似问题研究的启发,通过使用Green函数,利用Schaucer不动点定理和拓扑度理论,证明了两个正解存在性定理。本文的主要结果是:定理1如果f,g满足(H,H),并且满足:12H3)c>0,Iimt~(0(fcg(t))/t)=;H4)c>0,Iimt~+((fcg(t))/t)=0;则(1)至少有一个正解。定理2设f,g满足(H)和(H),另外满足:H)在(-,0]上,g(t)是非增

7、的;125H6)c>0,Iimt~+(g(c(ft))/t)=0;H7)g(0)>0,且当t>0时(ft)>0。则(1)至少有一个正解。2准备设二阶两点边值问题-1"=0,i(n0,1),{(3)(10)=(11)=0的Green函数为K:[0,1]X[0,1]~!,则1(S1-t),0sSstK(1S,t)={(4)(t1-S),tsSs1那么四阶边值问题U""=0,i(n0,1),{(5)U(0)=U(1)=U"(0)=U"(1)=0的Green函数K:[0,1]X[0,1]~!,为:21K(2S,t

8、)=K(1S,r)K(1r,t)cr(6)01引理(DaImass[O5])设(1t)C[0,1],w(ix)=K(ix,t)(1t)ct,i=1,2,则02i1)wC[0,1],i=1,2;2)如果10且1不恒为0,则iw(ix)cii(x),i=1,2x[0,1]。其中ci>0是常数,而i(x)是距离函数i(x)=mi(nx,1-x),x[0,1]1记#(ix)=K(ix,t)ct,Ii=#(ix)=max0sxs1I#(

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