圆的证明与计算.doc

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1、2015中考数学专题研讨：圆的证明与计算（1）1、圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.（共斜边的两个直角三角形四个点共圆）(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系以及中点等等.(3)弧、弦、圆心角之间的关系定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推论:主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理:主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理:线段相等、垂

2、直关系、角相等及全等。2、圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理、三角形全等、三角形相似等知识相结合，形式复杂，无规律性。解题时要重点注意观察已知线段间的关系，结合问题设问的角度，选择合适的定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想有：（1）建模思想：借

3、助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段或角之间的数量关系。构造策略：如：①构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；②构造勾股定理模型（已知线段长度）③构造三角函数(已知有角度的情况）；④构建矩形转化线段；⑤构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）及转换角度；⑥构造切割线，找相似；⑦构造平行线，找线段比（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，运用勾股定理

4、、比例线段或三角函数建立方程，解决问题。常用数学方法：如面积法，勾股定理，相似，三角函数等图形1：如图1：AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，基本结论有：（1）在“AC平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC是⊙O的切线”三个论断中，知二推一。（2）如图2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。（3）如图（4）：若CK⊥AB于K，则：①CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC；AE+AB=2AK=2AD;②⊿ADC∽⊿ACBAC2=AD•AB12（4）在

5、(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG⊥CD于G时（如图5），则：①DE=GB；②DC=CG；③AD+BG=AB；④AD•BG==DC2图形2：如图：Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。点O是AC上一点，以OC为半径作⊙O交AC于点E，基本结论有：（1）在“BO平分∠CBA”;“BO∥DE”;“AB是⊙O的切线”;“BD=BC”。四个论断中，知一推三。（2）①G是⊿BCD的内心；②；③⊿BCO∽⊿CDEBO•DE=CO•CE=CE2；（3）在图（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四

6、。（4）如图（3），若①BC=CE，则：②==tan∠ADE；③BC：AC：AB=3：4：5；（在①、②、③中知一推二）④设BE、CD交于点H，,则BH=2EH图形3：如图：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，基本结论有：如右图：（1）DE切⊙OE是BC的中点；（2）若DE切⊙O，则：①DE=BE=CE；②D、O、B、E四点共圆∠CED=2∠A③CD·CA=4BE2,图形特殊化：在（1）的条件下如图1：DE∥AB⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形；如图2：若DE的延长线

7、交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：①;②12图形4：如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，基本结论有：（1）DE⊥ACDE切⊙O；（2）在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：①⊿DFC是等腰三角形；②EF=EC；③D是的中点。④与基本图形1的结论重合。⑤连AD，产生母子三角形。图形5：：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ，基本结论有：（1）如图1：①AD+BC＝CD；②∠COD=∠AEB=90°；③OD平分∠ADC（或OC平分∠BCD）；（注：在①

8、、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中，知一推三）④AD·BC＝2=R2；（2）如图2，连AE、CO，则有：CO∥AE，CO•AE=2R2(与基本图形2重合)（3）如图3，若EF⊥AB于F，交AC于G，则：EG=FG.图形6：如图：直线PR⊥⊙O的半径OB于E，PQ切⊙O于Q，BQ交直线PE于R。基本结论有：（1）PQ=PR(⊿PQR是等腰三角形)；（2）在“PR⊥OB”、“PQ切⊙O”、“PQ=PR”中，知二推一（3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB212图形7：如