线性代数第四章-矩阵的特征值和特征向量.ppt

《线性代数第四章-矩阵的特征值和特征向量.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在PPT专区-天天文库。

1、第四章矩阵的特征值和特征向量第一节相似矩阵第二节特征值与特征向量第三节矩阵可相似对角化的条件第四节实对称矩阵的相似对角化第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵§4.1相似矩阵柯西(AugustinLouisCauchy[法]):给出了特征方程的术语,证明了任意阶实对称矩阵都有实特征值给出了相似矩阵的概念,证明了相似矩阵有相同的特征值凯莱(ArthurCayley[英]):方阵的特征方程和特征根(特征值)的一些结论克莱伯施(RudolfFriedrichAlfredClebsch[德]),布克海姆(A.Buch

2、heim[德])等:证明了对称矩阵的特征根性质泰伯(H.Taber):引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论约当(MarieEnnemondCamilleJordan[法]):矩阵化为标准型的问题第二章n维向量§2.6内积与正交矩阵柯西[法](1789.8.21~1857.5.23)顺治1644-1662康熙1662-1723雍正1723-1736乾隆1736-1796嘉庆1796-1821道光1821-1851咸丰1851-1862同治1862-1875光绪1875-1908宣统1908-1911§1.1矩阵的

3、基本概念第一章矩阵顺治1644-1662康熙1662-1723雍正1723-1736乾隆1736-1796嘉庆1796-1821道光1821-1851咸丰1851-1862同治1862-1875光绪1875-1908宣统1908-1911凯莱[英](1821.8.16~1895.1.26)第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵顺治1644-1662康熙1662-1723雍正1723-1736乾隆1736-1796嘉庆1796-1821道光1821-1851咸丰1851-1862同治1862-1875光绪187

4、5-1908宣统1908-1911克莱伯施[德](1833.1.19~1872.11.7)第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵约当[法](1838.1.5~1922.1.22)顺治1644-1662康熙1662-1723雍正1723-1736乾隆1736-1796嘉庆1796-1821道光1821-1851咸丰1851-1862同治1862-1875光绪1875-1908宣统1908-1911民国1912-1949一.问题习题1(B).23求A11.设P1AP=,P=,=14111002,A=P

5、P1A11=(PP1)(PP1)(PP1)…(PP1)11=100211=P11P1第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵二.相似矩阵的定义A与B相似(similar):P,s.t.P1AP=B.记为A~B.易见,矩阵间的相似关系满足(1)反身性:A~A;第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵E1AE=A(2)对称性:A~BB~A;P1AP=BPBP1=A(3)传递性:A~B,B~CA~C.P1AP=BQ1BQ=CQ1(P1AP)Q=(PQ)1A(P

6、Q)=即矩阵间的相似关系是一种等价关系.且A与B相似A与B相抵.但反之未必.性质1.设A~B,f是一个多项式,则f(A)~f(B).证明:设P1AP=B,f(x)=anxn+…+a1x+a0,则P1f(A)P=anP1AnP+…+a1P1AP+a0P1EP=an(P1AP)n+…+a1P1AP+a0E=P1(anAn+…+a1A+a0E)P=anBn+…+a1B+a0E=f(B).三.相似矩阵的性质第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵性质2.设A~B,则

7、A

8、=

9、B

10、.证明:P1AP=B

11、

12、P1AP

13、=

14、B

15、

16、P1

17、

18、A

19、

20、P

21、=

22、P

23、1

24、A

25、

26、P

27、=

28、A

29、=性质3.设A~B,则r(A)=r(B).证明:P1AP=Br(A)=r(B).第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵A=a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…annA的迹(trace):tr(A)=a11+a22+…+ann(1)tr(A+B)=tr(A)+tr(B);(2)tr(kA)=ktr(A);(3)tr(AB)=tr(BA).第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵性质4.设A~B

30、,则tr(A)=tr(B).证明:P1AP=Btr(B)=tr(P1AP)=tr(APP1)=tr(A).第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵P1AP=B注:可逆矩阵A~BA1~B1.(P1AP)1=B1P1A1P=B1例1.01x3~250y0+3=2+yx=2yx=2,y=1.1.定义:四.相似对角化(di