线性代数 第四章 矩阵的特征值和特征向量课件.ppt

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1、第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵§4.2§4.3§4.4法国数学家柯西:给出了特征方程的术语,证明了任意阶实对称矩阵都有实特征值给出了相似矩阵的概念,证明了相似矩阵有相同的特征值英国数学家凯莱:方阵的特征方程和特征根(特征值)的一些结论德国数学家克莱伯施,布克海姆(A.Buchheim)等:证明了对称矩阵的特征根性质泰伯(H.Taber):引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论1854年,法国数学家约当矩阵化为标准型的问题第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵一.问题习题1(B).23求A11.设P1AP=,P=,=1411

2、1002,A=PP1A11=(PP1)(PP1)(PP1)…(PP1)11=100211=P11P1第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵二.相似矩阵的定义A与B相似(similar):P,s.t.P1AP=B.记为A~B.易见,矩阵间的相似关系满足(1)反身性:A~A;(2)对称性:A~BB~A;(3)传递性:A~B,B~CA~C.性质1.设A~B,f是一个多项式,则f(A)~f(B).证明:设P1AP=B,f(x)=anxn+…+a1x+a0,则P1f(A)P=anP1AnP+…+a1P1AP+a0P

3、1EP=an(P1AP)n+…+a1P1AP+a0E=P1(anAn+…+a1A+a0E)P=anBn+…+a1B+a0E=f(B).三.相似矩阵的性质第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵性质2.设A~B,则

4、A

5、=

6、B

7、.证明:P1AP=B

8、P1AP

9、=

10、B

11、第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵

12、P1

13、

14、A

15、

16、P

17、=

18、P

19、1

20、A

21、

22、P

23、=

24、A

25、=性质3.设A~B,则r(A)=r(B).证明:P1AP=Br(A)=r(B).第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵A=a11a12…a1na21a22…a2n

26、…………an1an2…a1nA的迹(trace):tr(A)=a11+a22+…+a1n(1)tr(A+B)=tr(A)+tr(B);(2)tr(kA)=ktr(A);(3)tr(AB)=tr(BA).性质4.设A~B,则tr(A)=tr(B).证明:P1AP=B第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵tr(B)=tr(P1AP)=tr(APP1)=tr(A).1.定义:四.相似对角化(diagonalize)第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵A~==P1AP10…002…0…………00…nP=(1,…,n)可逆1,

27、…,n线性无关P1AP=AP=P(A1,…,An)=(11,…,nn)2.条件:第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵定理4.1.Ann~对角矩阵1,…,n和线性无关的1,…,n,s.t.Ai=ii(i=1,…,n).P=(1,…,n),=diag(1,…,n),在此条件下,令则P1AP=.§4.2特征值与特征向量一.定义第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量A=n阶方阵非零向量特征值(eigenvalue)特征向量(eigenvector)对应“Eigen”isGer

28、manfor“characteristicof”or“peculiarto”;someauthorscallthesecharacteristicvaluesandvectors.Noauthorscallthem“peculiar”.第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量A=(E–A)=0

29、E–A

30、=0特征方程(characteristicequation)

31、E–A

32、=–a11–a12…–a1n–a21–a22…–a2n…………–an1–an2…–ann特征多项式(characteristicpolynomial)E–A

33、特征矩阵特征值特征向量二.计算第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量定理4.2.(1)0为A的特征值

34、0E–A

35、=0.(2)为A的对应于0特征向量(0E–A)=0.1.理论依据2.步骤计算

36、E–A

37、求

38、E–A

39、=0的根i求(iE–A)x=0的基础解系例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为1=2,2=4.解之得A的对应于1=2的特征向量为对于1=2,(2E–A)x=0即3113

40、E–A

41、=–311–3=(–2)(–4).x1+x2=0x1x2=0x1x2=k11(0kR).kk

42、(0kR).第四章矩阵的特征值和特