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1、第39卷第2期西南师范大学学报(自然科学版)2014年2月Vol.39No.2JournalofSouthwestChinaNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Feb.2014文章编号:10005471(2014)2002205连续伪压缩映象不动点的广义逼近方法①龚黔芬1,闻道君21.重庆工商大学计算机与信息工程学院,重庆400067;2.重庆工商大学数学与统计学院,重庆400067摘要:在Hilbert空间中建立了一个逼近连续伪压缩映象不动点的广义迭代逼近方法,并在一定条件下
2、证明了由该方法所产生的序列强收敛到伪压缩映象的某个不动点.关键词:伪压缩映象;不动点;强正算子;广义迭代;变分不等式中图分类号:O177.91文献标志码:A不动点理论是现代非线性分析的重要组成部分,广泛应用于经济决策、最优化理论、算子理论、数值分析和动力系统等领域.近年来,非线性算子的不动点定理及其逼近算法引起了数学研究者的极大兴趣,[1-7]并获得了一系列很好的研究成果.2006年,文献[8]介绍了一个逼近非扩张映象不动点的广义迭代方法,在一定条件下证明了迭代序列强收敛到非扩张映象的不动点,且该不动点为一类变分不等式
3、问题的唯一解,同时也是非扩张映象的不动点集上二次泛函的最优化条件.2012年,文献[9]为了研究伪压缩映象和单调映象不动点定理,引入了Tr和Fr映象的定义,介绍了一个新的粘滞迭代逼近方法,并在一定条件nn下证明了逼近连续伪压缩映象和单调映象不动点的强收敛定理.在此基础上,本文将逼近非扩张映象不动点的迭代方法推广到伪压缩映象,定义一个逼近伪压缩映象不动点的改进的广义迭代方法,目的是在Hilbert空间中建立逼近连续伪压缩映象不动点的强收敛定理,所得的结果改进并推广了文献[5,8-11]中相应的结论.设H为一实Hilber
4、t空间,其内积和范数分别表示为<·,·>和‖·‖,K为H的一个非空闭凸子集,以“→”和“⇀”分别表示K中序列的强弱收敛.如果≤‖x-y‖2∀x,y∈K,则称T:K→K为伪压缩映象.关于非扩张映象、压缩映象、k严格伪压缩映象的定义与文献[9,11]相同.显然,伪压缩映象是包含非扩张映象和k严格伪压缩映象的一类推广的映象.本文以F(T)表示T的不动点集合,即F(T)={x∈K:Tx=x}.定理1设K为Hilbert空间H的非空闭凸子集,T:K→K为连续伪压缩映象,且F(T)≠Ø.设f:K→K是系数为ρ
5、∈(0,1)的压缩映象.对给定的x0∈H,αn∈(0,1),rn∈(0,∞),定义{xn}如下:①收稿日期:20121110基金项目:国家自然科学基金项目(11001287);重庆市自然科学基金项目(CSTC2012jjA00039,CSTC2013jcyjA00031);重庆市教委科技研究项目(KJ130712,KJ130731).作者简介:龚黔芬(1977),女,四川梓潼人,讲师,主要从事计算机应用与算法的研究.第2期龚黔芬,等:连续伪压缩映象不动点的广义逼近方法23ìï-1
6、≤0ïnnnnn-xnírn,(1)ïïîxn+1=αnγf(xn)+(I-αnA)unγ췍其中A是系数为γ췍的强正有界线性算子,且0<γ<,并满足下列条件:ρ∞∞(i)limαn=0,∑αn=∞,∑
7、αn+1-αn
8、<∞;n→∞n=0n=0∞(ii)liminfrn>0,∑
9、rn+1-rn
10、<∞.n→∞n=0则迭代序列{xn}强收敛到T的某个不动点q,且满足<(A-γf)q,q-w>≤0∀w∈F(T).证首先,证明序列{xn}有界.取p∈F(T),记1Trx={z∈K:-
11、≤0(∀y∈K)}.nrn由文献[11]的引理2.6可知p∈F(Tr).由(1)式和文献[8]的引理2.5得n‖xn+1-p‖≤αn‖γf(xn)-Ap‖+‖(I-αnA)(un-p)‖≤αnγ‖f(xn)-f(p)‖+αn‖γf(p)-Ap‖+(1-αnγ췍)‖un-p‖≤[1-(γ췍-γ)α]‖x(p)-Ap‖≤ρnn-p‖+αn‖γf1max{‖xn-p‖,γ췍‖γf(p)-Ap‖}.-γρ类似地,递推可得1‖xn-p‖≤max{‖x0-p‖,γ췍‖γf(p)-Ap‖}n≥0(2)-γρ因此{xn}有界.进一步可
12、得{un},{Aun}和{f(xn)}有界.其次,证明lim‖xn+1-xn‖=0.由(1)式得n→∞‖xn+1-xn‖=‖αnγf(xn)-αnγf(xn-1)+αnγf(xn-1)-αn-1γf(xn-1)+(I-α)u(I-α)u(I-α)u(I-α)unAn-nAn-1+nAn-1-n-1An-1‖≤αnγ‖f(xn)-f
