理科高三数学第11讲 导数3教师版 ----李美英公主坟.docx

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1、第11讲导数3（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）（不用添加内容，也不做修改）一、恒成立问题（1）/不等式的恒成立的问题1.若在上恒成立，等价于在上的最小值成立．2.若在上恒成立，等价于在上的最大值成立．3.对任意，都有成立，等价于构造，．4.对任意，都有成立，等价于构造，5.对任意，都有成立的充要条件是．（2）不等式的能成立（存在性）问题1.若存在使得在上能成立，等价于在上的最大值成立．2.若存在使得在上能成立，等价于在上的最小值成立．3.若存在，使得成立，等价于构造，．4.若存在，使得成立，等价于构造，．5.若在

2、，至少存在一个使得成立等价．（3）不等式的恒成立与存在性的综合问题1.对任意，存在，使得成立，等价于在上的最大值在的最大值．2.对任意，存在，使得成立，等价于在上的最小值在的最小值．3.对任意，存在，使得，等价于．4.对存在，存在，使得，等价于．5.对于任意，，使得，等价于在D上最小值二、零点问题（1、进一步巩固导数中分类讨论思想的运用；2、理解恒成立的解题方法；3、理解零点的解题方法，进一步提高综合能力。【例1】已知是上的单调增函数，则的取值范围是（）A．或　　　　B．或C．　　　　　　　D．【例2】若函数在上是增函数，则实

3、数的取值范围是（　　）A．B．C．D．【例1】已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为______．【例2】已知函数，若同时满足两个条件：①函数(R)有极值点；②函数在(2，+∞)上为减函数，则实数a的取值范围是A．[4，+∞)B．(0，+∞)C．[-4，0)D．(0，4]【答案】D【解析】，，所以得。，所以是减函数，所以所以选D。【例3】设函数（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.【来源】2009年北京理18．【解析】（Ⅰ）,曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）由，得

4、，若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.【例1】已知函数，．（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）若函数在上为增函数，求的取值范围．【来源】2014年朝阳期末理【解析】（Ⅰ）定义域．当时，，．令，得．当时，，为减函数；当时，，为增函数.所以函数的极小值是．………………5分（Ⅱ）由已知得．因为函数在是增函数，所以，对恒成立．由得，即对恒成

5、立．设，要使“对恒成立”，只要．因为，令得．当时，，为减函数；当时，，为增函数.所以在上的最小值是．故函数在是增函数时，实数的取值范围是……13分【例2】已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．【来源】2015年北京高考理【解析】【例1】已知函数（为自然对数的底数）.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）已知函数在处取得极小值，不等式的解集为，若，且，求实数的取值范围.【来源】2014年石景山期末理18【解析】（Ⅰ）当时，，，，得，………2分

6、所以曲线在点处的切线方程为.……………3分（Ⅱ）.当时，恒成立，此时的单调递增区间为，无单调递减区间；分当时，时，，时，，此时的单调递增区间为，单调递减区间为.……7分（Ⅲ）由题意知得，经检验此时在处取得极小值.………8分因为，所以在上有解，即使成立，…9分即使成立，…………10分所以.令，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，……………12分所以.……………13分题型二：函数的零点【例1】设函数与有三个交点，求的取值范围（）A．B．C．(，+∞)D．(，+∞)【答案】A【例2】已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；（Ⅱ）

7、若在区间上单调递增,求的取值范围；（Ⅲ）讨论函数的零点个数.【来源】2015年东城一模理18A【练习1】方程有3个不等实根，则的取值范围为【答案】【练习2】若函数在区间与上都是减函数，则实数的取值范围为______．【练习1】已知，函数．（Ⅰ）当时，求的最小值；（Ⅱ）若在区间上是单调函数，求的取值范围．【来源】2014年东城期末理【解析】（Ⅰ）当时，（），．所以，当时，；当时，．所以，当时，函数有最小值．　　　　……………６分（Ⅱ）．　　　当时，在上恒大于零，即，符合要求．　　　当时，要使在区间上是单调函数，　　　当且仅当时，

8、恒成立．　　　即恒成立．　设，　　　则，　　　又，所以，即在区间上为增函数，　　　的最小值为，所以．综上，的取值范围是，或．……………13分【练习2】已知函数．（Ⅰ）求函数在上的最小值；（Ⅱ）若存在（为自然对数的底数，且）使不等式成立，求实数的取值范围．【来源】2011年东城