圆邻域和方邻域.ppt

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1、§1平面点集与多元函数§2二元函数的极限§3二元函数的连续性第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数一、平面点集二、R2上的完备性定理三、二元函数四、n元函数一、平面点集平面点集的表示：r1、常见平面点集⑴全平面和半平面记为型域型域2、邻域：圆邻域和方邻域圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域A.A.A.AAU(A,)U0(A,)3、内点、外点和界点（1）内点:比如D={(x,y)

2、x2+y2<1}（2）外点:（3）界点:yxo11DD={(x,y)

3、x2+y21}例如提问E的内点，外点，界点与E的关系是什么？4.(以凝聚程度分为)聚点和孤

4、立点聚点从几何上看,所谓A是E的聚点是指在A的附近聚集了无限多个E中的点.即在A的任意近傍都有无限多个E中的点.A（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．（1）内点一定是聚点；说明：（2）边界点可能是聚点；例如，(0,0)既是边界点也是聚点．1.孤立点必为界点.孤立点说明2.内点和非孤立的界点一定是聚点.3.既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点.例1设平面点集讨论此集合的内点集、界点集、聚点集？5、开集和闭集开集闭集例如，为开集．为闭集．为既非开集又非闭集．结论性质若E为开集

5、，则CE为闭集，若E为闭集，则CE为开集;(1)开集与闭集的对偶性(2)设F1，F2为闭集，则F1∪F2和F1∩F2都是闭集;(3)设E1,E2为开集，则E1∪E2和E1∩E2都为开集;(4)F为闭集，E为开集，则FE为闭集，EF为开集.xyoE若E不包含边界,则E为开集.若E包含边界,则E不是开集.证明“必要性”“充分性”6.开域、闭域、区域连通性:BAE不连通E连通ABE是连通集,即E是连成一片的.如图x+y=0xyoxyo11x2+y2=1E开域若非空开集E具有连通性,则称E是开域.注：开区域是连成一片的,不包括边界的平面点集.闭域：开域连同其边

6、界所成的点集称为闭集.E区域:开域、闭域，或开域连同一部分界点所成的点集，通称为区域.7、有界集与无界集存在矩形区域为开域.为闭域.为区域.为开集，但不是开域，也不是区域.8、点集的直径当且仅当为有限值时E是有界点集．注(1)(三角不等式)（或）则对任给的正数ε，存在N，证明Pn≠P0，且设存在各点互不相同的点列{Pn}E,Pn∈U°(P0,ε).当n>N时，小结P921,（1）（2）（7）（9）,4，10.作业二、R2上的完备性定理1点列的极限:说明(2)定义也可以表示为(5)等价关系证明必要性.充分性.定理16.1(柯西准则)证必要性.设，则由三角不

7、等式及点列收敛定义，充分性设定理16.2(闭域套定理)由于因此从而有最后证的惟一性.若还有则由定理16.3(聚点定理)证现用闭域套定理证明.如此下去得到一个闭正方形序列证显然和都是有界数列。是有界无限点列。设由数列的致密性定理，数列存在收敛子列.设，相应也是有界数列.再根据数列的致密性定理，也有收敛的子数列设，根据16.1习题5，有界无限点列存在收敛的子点列.定理16.4(有限覆盖定理)三、二元函数x、y---自变量，z---因变量.函数的两个要素:定义域、对应法则.所求定义域为解例5求的定义域．定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.二元函数的图象

8、二元函数的图形通常是一张曲面.如图例如例如9、n维空间实数x一一对应数轴点.数组(x,y)实数全体表示直线(一维空间)一一对应平面点(x,y)全体表示平面(二维空间)数组(x,y,z)一一对应空间点(x,y,z)全体表示空间(三维空间)n维空间中两点间距离公式设两点为:n维空间中邻域概念：区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．四、n元函数n维向量空间n元函数的概念“点函数”的写法小结7，8（4）（6）（7）（9），12.作业P92