圆锥曲线的全参数方程.doc

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1、二　圆锥曲线的参数方程[学习目标]1.掌握椭圆的参数方程及应用.2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.[知识]1.椭圆的参数方程中，参数φ是OM的旋转角吗？提示　椭圆的参数方程(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角.2.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数secφ的意义是什么？提示　secφ＝，其中φ∈[0，2π)且φ≠，φ≠π.3.类比y2＝2px(p＞0)，你能得到x2＝2py(p＞0)的参数方程吗？

2、提示　(p＞0，t为参数，t∈R.)[预习导引]1.椭圆的参数方程普通方程参数方程＋＝1(a＞b＞0)(φ为参数)＋＝1(a＞b＞0)(φ为参数)2.双曲线的参数方程普通方程参数方程－＝1(a＞b＞0)(φ为参数)3.抛物线的参数方程(1)抛物线y2＝2px的参数方程是(t∈R，t为参数).(2)参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.要点一　椭圆参数方程的应用例1　已知A、B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC重心G的轨迹的普通方程.解　由题意知A(6，0)，B(0，3).由于动点C在椭圆上运动

3、，故可设动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得(θ为参数)，即故重心G的轨迹的参数方程为(θ为参数).规律方法　本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.跟踪演练1　已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：＋＝1.(1)化C1为普通方程，C2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x－2y－7＝0距离的最小值.解　(1)由得∴曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，

4、C1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆.曲线C2：＋＝1表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.其参数方程为(θ为参数)(2)依题设，当t＝时，P(－4，4)；且Q(8cosθ，3sinθ)，故M.又C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝

5、4cosθ－3sinθ－13

6、＝

7、5cos(θ＋φ)－13

8、，从而当cosθ＝，sinθ＝－时，，cos(θ＋φ)＝1，d取得最小值.要点二　双曲线参数方程的应用例2　求证：双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值.证明　由双曲线－＝1，得两

9、条渐近线的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，设双曲线上任一点的坐标为(asecφ，btanφ)，它到两渐近线的距离分别是d1和d2，则d1·d2＝·＝＝(定值).规律方法　在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec2φ－tan2φ＝1的应用.跟踪演练2　如图，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1、F2是两个焦点，证明：

10、PF1

11、·

12、PF2

13、＝

14、OP

15、2.证明　设P(secφ，tanφ)，∵F1(－，0)，F2(，0)，∴

16、PF1

17、＝

18、＝，

19、PF2

20、＝＝，

21、PF1

22、·

23、PF2

24、＝＝2sec2φ－1.∵

25、OP

26、2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1，∴

27、PF1

28、·

29、PF2

30、＝

31、OP

32、2.要点三　抛物线参数方程的应用例3　设抛物线y2＝2px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQ⊥l于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程.解　设P点的坐标为(2pt2，2pt)(t为参数)，当t≠0时，直线OP的方程为y＝x，QF的方程为y＝－2t，它们的交点M(x，y)由方程组确定，两式相乘，消去t，得y2＝－2x，∴点M的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0(x≠0).当t＝0

33、时，M(0，0)满足题意，且适合方程2x2－px＋y2＝0.故所求的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0.　规律方法　1.抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为(t为参数)，参数t为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.2.用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程.跟踪演练3　已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p＞0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E，若

34、EF

35、＝

36、MF

37、，点M的横坐标是

38、3，则p＝________.解析　根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y2＝2px，所以y＝6p，所以E，F，所以＋3＝，所以p2