北京市人大附中2012届高三数学 尖子生专题训练 平面向量 新人教版.doc

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1、北京市人大附中2012届高三数学尖子生专题训练：平面向量I卷一、选择题1．设、都是非零向量，则“”是“、共线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C2．已知平面向量，，且⊥，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】C3．平面向量与夹角为，，则（）A．7B．C．D．3【答案】C4．在直角三角形ABC中，AB＝4，AC＝2，M是斜边BC的中点，则向量在向量方向上的投影是(）A．1B．－1C．D．－【答案】D5．已知中，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C6．已知O是正三形内部一点，，则的

2、面积与△的面积之比是()A．B．C．D．【答案】A7．已知的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足：，若实数满足：，则的值为(）A．3B．C．2D．8【答案】A8．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，且，则向量在向量方向上的射影的数量为（）A．B．C．3D．8用心爱心专心【答案】A9．设向量若是实数，则的最小值为（　　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【答案】B10．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（）A．一条线段B.一段圆弧C.圆上一群孤立点D．一个单位圆【答案】D11．已

3、知垂直时k值为()A．17B．18C．19D．20【答案】C12．已知向量a，b，c都不平行，且λ1a＋λ2b＋λ3c＝0，则(　　)A．λ1，λ2，λ3一定全为0B．λ1，λ2，λ3中至少有一个为0C．λ1，λ2，λ3全不为0D．λ1，λ2，λ3的值只有一组【答案】C8用心爱心专心II卷二、填空题13．直角坐标平面上向量在直线L上的射影长度相等，则直线L的斜率为_____________【答案】3,－14．已知向量，若，则等于。【答案】15．在平行四边形ABCD中，若＝(1,3)，＝(2,5)，则＝________，＝________

4、.【答案】(1,2)　(0，－1)16．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则

5、a－2b

6、等于________．【答案】517．已知平面向量a，b满足

7、a

8、＝1，

9、b

10、＝2，a与b的夹角为．以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．【答案】18．已知，若与夹角为锐角，则实数的取值范围为．【答案】8用心爱心专心三、解答题19．已知向量满足.(1）求的值；(2）求的值.【答案】（1）由｜｜=2得，所以.(2），所以.20．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(，0)

11、，P(cosα，sinα)，其中0≤α≤．(1)若cosα＝，求证：⊥；(2)若∥，求sin(2α＋)的值．【答案】(1)法一：由题设，知＝(－cosα，－sinα)，＝(－cosα，－sinα)，所以·＝(－cosα)(－cosα)＋(－sinα)2＝－cosα＋cos2α＋sin2α＝－cosα＋1.因为cosα＝，所以·＝0.故⊥.法二：因为cosα＝，0≤α≤，所以sinα＝，所以点P的坐标为(，)．所以＝(，－)，＝(－，－)．·＝×(－)＋(－)2＝0，故⊥.(2)由题设，知＝(－cosα，－sinα)，＝(－cosα，－s

12、inα)．因为∥，所以－sinα·(－cosα)－sinαcosα＝0，即sinα＝0.因为0≤α≤，所以α＝0.8用心爱心专心从而sin(2α＋)＝．21．(1)已知a＝(2x－y＋1，x＋y－2)，b＝(2，－2)，①当x、y为何值时，a与b共线？②是否存在实数x、y，使得a⊥b，且

13、a

14、＝

15、b

16、？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．(2)设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，试求向量a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角．【答案】(1)①∵a与b共线，∴存在非零实数λ使得a＝λb，∴⇒②由a⊥b⇒(2x－y＋1)×2＋(x＋

17、y－2)×(－2)＝0⇒x－2y＋3＝0.(*)由

18、a

19、＝

20、b

21、⇒(2x－y＋1)2＋(x＋y－2)2＝8.(**)解(*)(**)得或∴xy＝－1或xy＝．(2)∵m·n＝

22、m

23、

24、n

25、cos60°＝，∴

26、a

27、2＝

28、2m＋n

29、2＝(2m＋n)·(2m＋n)＝7，

30、b

31、2＝

32、－3m＋2n

33、2＝7，∵a·b＝(2m＋n)·(－3m＋2n)＝－．设a与b的夹角为θ，∴cosθ＝＝－，∴θ＝120°.22．已知平面向量a,b(Ⅰ）若存在实数,满足xab，yab且x⊥y，求出关于的关系式；(Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论,试求出函数在上的最小值.【答案】(

34、Ⅰ），且∴∴(）(Ⅱ）∵，∴，则，8用心爱心专心当且仅当，即时取等号，∴的最小值为-3.23．设，是两个相互垂直的单位向量，且，.(1）若，求的值；(2）若，求的值.【答案】解法一：（1）由，且，故存在唯一