2020届高二数学 期末备考专题极坐标与参数方程 新人教A版选修2-3（通用）.doc

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1、2020届高二数学期末备考专题极坐标与参数方程1.求点的极坐标：有序实数实数对,叫极径，叫极角；极坐标：M是平面上一点，表示OM的长度，是，则有序实数实数对,叫极径，叫极角；一般地，，。例1.（1）点的直角坐标是，则点的极坐标为（C）A．B．C．D．提示：都是点的极坐标.（2）点的直角坐标为,在的要求下,它的极坐标为提示：点的直角坐标为，∴，（3）在直角坐标系中，点的坐标为，则在相应的极坐标系中它的极坐标可以是（C）A.B．C．D．2.常见的曲线的极坐标方程（1）直线过点M,倾斜角为常见的等量关系：正弦定理，；（2）圆心P半径为R的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理；（

2、3）圆锥曲线极坐标：，；提醒：极点是焦点，一般不是直角坐标下的坐标原点。例2.（1）极坐标方程表示的曲线是.双曲线提示：等价于，.（2）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度.解：对此抛物线有，所以抛物线的极坐标方程为，两点的极坐标分别为和，，，∴.∴线段的长度为.（3）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求的值.解：抛物线中，.在以抛物线的焦点为极点，轴为极轴的极坐标系中，抛物线的极坐标方程为，设点的极坐标为，则点的极坐标为，则，∴的值为.3.参数方程化为直角坐标：消去参数（1）圆的参数方程：（2）椭圆的参数方程：（3）直线过点M,倾斜角为

3、的参数方程：即，即注：，根据锐角三角函数定义，T的几何意义是有向线段的数量；例3已知过点的直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于、两点，则最小值为提示：设倾斜角为，则或=，，则，，令，所以，，注意：本题可以取倾斜角的补角为。例4.（1）直线为参数被圆截得的弦长为______________.提示：直线为，圆心到直线的距离（2）过点P（－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线相交于A、B两点．求线段AB的长．解：直线的参数方程为，……………………………………………3分曲线可以化为．…………………………………………5分将直线的参数方程代入上式，得．设A、B对应的参数分别为，∴．……………

4、…………8分AB＝．………………………………………………10分（3）已知直线经过点,倾斜角，写出直线的参数方程;设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积.解（1）直线的参数方程为，即．………………5分（2）把直线代入，得，，则点到两点的距离之积为．……………………10分4极坐标和直角坐标互化公式或，θ的象限由点(x,y)所在象限确定.（1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合.（2）将点变成直角坐标，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。例5.已知抛物线，以焦点F为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求抛物线的极坐标方程。错解：设代入，得，即。错因分析：运

5、用互化公式必须满足：极点与原点重合。本题极点是焦点（1，0）不是坐标原点，因此所得到的极坐标方程不是我们要求的方程。正确解法：设抛物线上任意一点，过点M向X轴作垂线MN，中，。根据抛物线定义得，，，即。例6.已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．解：曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为x2＋y2－4x=0，即（x－2）2＋y2=4--------------------------------------2分直线l的参数方程，化为普通方程为x－y－1=0，--

6、-----------------------------4分曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为-------------------------------------6分所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长=．--------------------------------10分例7.已知椭圆的极坐标方程为，点，为其左，右焦点，直线的参数方程为．(Ⅰ)求直线和曲线的普通方程；(Ⅱ)求点，到直线的距离之和.解:(Ⅰ)直线普通方程为；………………………………2分曲线的普通方程为．………………………………4分(Ⅱ)∵,，∴点到直线的距离………………………………6分点到直线的

7、距离………………………………8分∴………………………………10分5.曲线的极坐标方程(1)求曲线轨迹的方程步骤：（1）建立坐标系；（2）在曲线上取一点P；（3）写出等式；（4）根据几何意义用表示上述等式，并化简（注意：）；（5）验证。注意：常见的技巧（1）直接法；（2）定义法；（3）坐标转移法（利用几何意义）(2)求轨迹方程的常用方法：⑴直接法：直接通过建立、之间的关系，构成,是求轨迹最基本的方法.⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回方程⑶代入法(相关点法或转移法).