【大师特稿】2020届高考数学文科二轮复习 大题专项强化练十二 .doc

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1、十二、函数与导数(B组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！　　姓名：________　班级：________　1．(2016·广东肇庆第三次模拟)已知函数f(x)＝x2＋lnx，g(x)＝f(x)－2ax.(a∈R)(1)当a＝0时，求f(x)在区间上的最大值和最小值；(2)若∀x∈(1，＋∞)，g(x)<0恒成立，求a的取值范围．解：(1)函数f(x)＝x2＋lnx的定义域为(0，＋∞)，当a＝0时，f(x)＝－x2＋lnx，则f′(x)＝－x＋＝＝.当x∈时，f′(x)>0；当x∈(1，e]时，f′(x)<0，∴f(x)在区

2、间上是增函数，在区间(1，e]上为减函数，又f＝－1－，f(e)＝1－，f(1)＝－，∴f(x)min＝f(e)＝1－，f(x)max＝f(1)＝－.(2)g(x)＝f(x)－2ax＝x2－2ax＋lnx，则g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝(2a－1)x－2a＋＝＝，①若a>，则令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝，当x2>x1＝1，即0，在(1，x2)上有g′(x)<0，在(x2，＋∞)上有g′(x)>0，此时g(x)在区间(x2，＋∞)上是增函数，并且在该区间上有g(x)∈(g(x2

3、)，＋∞)，不合题意；当x2≤x1＝1，即a≥1时，同理可知，g(x)在区间(1，＋∞)上有g(x)∈(g(1)，＋∞)，也不合题意；②若a≤，则有2a－1≤0，此时在区间(1，＋∞)上恒有g′(x)<0，从而g(x)在区间(1，＋∞)上是减函数；要使g(x)<0在此区间上恒成立，只需满足g(1)＝－a－≤0⇒a≥－，由此求得a的取值范围是.综合①②可知，a的取值范围是.2．(2016·豫东、豫北十所名校联考)已知函数f(x)＝aex＋＋lnx，a∈R.(1)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值；(2)当a＝时，求证：∀x∈(0

4、，＋∞)，f(x)＋≥lnx＋2a＋2.(1)解：依题意，知f(x)＝ex＋＋lnx.则f′(x)＝ex－＋＝，易知在[1，e]上，f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)max＝f(e)＝ee＋＋1.(2)证明：要证f(x)＋≥lnx＋2a＋2，x∈(0，＋∞)，即证aex＋＋－(2a＋2)≥0，x∈(0，＋∞)，令g(x)＝aex＋＋－(2a＋2)，x∈(0，＋∞)，下证当a＝，且x>0时，g(x)≥0恒成立，g′(x)＝aex－，令h(x)＝aex·x2－(a＋1)，易知h(x)在(0，＋∞)上单调递增．注意到h(1)＝ae－a

5、－1＝－－1＝0，故当x∈(0,1)时，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0，即g′(x)>0，g(x)单调递增．故g(x)min＝g(1)＝＋＋1－－2＝0，故当a＝时，∀x∈(0，＋∞)，g(x)≥0恒成立，即f(x)＋≥lnx＋2a＋2恒成立．