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《不定积分的概念与性质 课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.1不定积分的概念与性质1.原函数与不定积分的概念2.基本积分表3.不定积分的主要性质4.直接积分法即利用基本积分公式和简单变换直接计算不定积分的方法.作为基本功，要熟练掌握之.引言数学中的转折点是笛卡尔的变数.有了变数,进入了数学;有了变数,辩证法进入了数学;有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的,他们发明的.------恩格斯运动生,但不是由数学发展的动力主要来源于17世纪,面临的四类核心问题中的第四类问题,的长度、量.微积分的创立首先是为了解决当时数学即求曲线曲线围成的面积、曲面围成的体积、社会发展的
2、环境力面临的四类核心问题中的第四类问题,的长度、学即求曲线曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心和引力等等.此类问题的研究具有久远的历史,例如,古希腊人曾用穷竭法求出了某些图形的面积和体积,我国南北朝时期的祖冲之、也曾推导出某些图形的面积和体积,而在欧洲,此类问题的研究兴起于17世纪,修改,后来由于微积分的创立大类问题的方法.祖恒对先是穷竭法被逐渐彻底改变了解决这一由求运动速度、曲线的切线和极值等问题产生引言由求运动速度、曲线的切线和极值等问题产生了导数和微分,构成了微积分学的微分学部分;时由已知速度求路程、已知切线求曲线以及上述求面积与体积等问题,产生了不
3、定积分和定积分,同构成了微积分学的积分学部分.前面已经介绍已知函数求导数的问题,们要考虑其反问题:已知导数求其函数,数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分.现在我这种由导一、原函数的概念定义从上述后面两个例子可见:唯一的.设是定义在空间上的函数,若存在函数对任何均有或则称函数为在区间上的原函数.例如,因为故是的一个原函数;因为故是的一个原函数;因为故是的一个原函数;一个函数的原函数不是一个函数的任意二个原函数之间相差一个常数.事实上,则事实上,即有若为在区间上的原函数,(为任意常数).从而也是在区间上的原函数.设和都是的原函数,(为任意常数).由此知道,若为在区
4、间上的原函数,则由此知道,若为在区间上的原函数,则函数的全体原函数为(为任意常数).原函数的存在性将在下一章讨论,个结论:这里先介绍一注:函数求导得来的.则其全体原函数为区间上的连续函数一定有原函数.求函数的原函数,实质上就是问它是由什么而一旦求得的一个原函数(为任意常数).二、不定积分的概念定义若存在原函数,为积分符号,由定义知,则在某区间上的函数称为可积函数,并将的全体原函数记为则称它是函数在区间内的不定积分,其中称称为被积函数,称为积分变量.若为的原函数,(称为积分常数)注:由定义知,求函数的不定积分,就是求的全体原函数,在中,故求不定积分的运算实质上就是
5、求导(或求微积分)运算的逆运算.积分号表示对函数实行求原函数的运算,例1问与是否相等?解不相等.设则而由不定积分定义所以完例2求下列不定积分解(1)所以是的一个原函数,从而(2)所以是的一个原函数,从而因为因为(3)因为的原函数,从而故是的例3已知曲线在任一点处的切线斜率为且曲线通过点求此曲线的方程.解根据题意知即是的一个从而现在要上述积分曲线族中选出通过点的那条由曲线通过点得故所求曲线方程为原函数,曲线.三、不定积分的性质由不定积分的定义知,即所以原函数,若为在区间上的或则在区间内的不定积分为易见是的原函数,或所以又由于是的原函数,或微分运算与积分运算的关系所
6、以又由于是的原函数,或从上可见微分运算与积分运算是互逆的.两个运算连在一起时,一常数.完全抵消,抵消后差不定积分的性质利用微分运算法则和不定积分的定义,算性质:性质1两函数代数和的不定积分,分的代数和.即证证毕.可得下列运等于它们各自积注:此性质可推广到有限多个函数之和的情形.性质2求不定积分时,注:此性质可推广到有限多个函数之和的情形.性质2求不定积分时,即证证毕.非零常数因子可提到积分号外面.完四、基本积分表(1)(3)(6)(2)(5)(是常数)(4)(7)(7)(9)(10)(11)(12)(13)(8)五、直接积分法从前面的例题知道,不定积分是非常不方
7、便的.为解决不定积分的计算质和积分基本公式,直接求出不定积分的方法,直接积分法.利用不定积分的定义来计算问题,这里我们先介绍一种利用不定积分的运算性即例如,计算不定积分不定积分性质积分基本公式直接积分法不定积分性质积分基本公式注:多个不定积分作代数和运算时,只需统一记一个积分常数例5计算不定积分解完例6求不定积分解例8求不定积分解例9求下列不定积分:解完内容小结1.原函数与不定积分的概念2.基本积分表3.不定积分的主要性质4.直接积分法即利用基本积分公式和简单变换直接计算不定积分的方法.作为基本功，要熟练掌握之.
